MTB자석을 이용하여 도형수 중 삼각수와 정사면체수를 직접 만들어보고, 그 속에 숨은 수열에 대해 알아봅시다.
도형수 속 수열의 규칙을 다른 색깔의 컬러 비즈를 이용하여 나타내면 다양한 무늬의 디자인을 만들어 낼 수 있습니다.
고리만 연결하면 예쁜 열쇠고리 완성~!


1.소속: 대금고
2.지도교사: 강수인
3.주제: 도형수에 숨은 수열을 이용한 컬러비즈 열쇠고리 만들기
4.교육과정 관련: 고(수학Ⅰ) Ⅲ. 수열 1. 등차수열 2. 수열의 합
5.체험재료: MTB 자석, 컬러비즈, 모양판, 기름종이, 다리미, 열쇠고리
6.자막:

안녕하세요.
저희는 대금고등학교 수학공감동아리 F.I.M.(Falling Into Math)입니다.
저희는 도형수에 대해 알아보고 그 속에 숨은 수열을 찾아보려고 합니다.

먼저 도형수 중에서 삼각수에 대해 알아볼게요.
삼각수란 정삼각형을 만드는 점의 개수를 의미해요.
의미는 아주 간단하지만, 이 삼각수를 만들기 위해서는 점들의 규칙성을 찾아내어 일반항을 만들 수 있어야 해요. 이렇게 일반항을 만들었을 때 우리는 n번째 정삼각형을 만들기 위한 점의 개수를 쉽게 파악할 수 있게 됩니다.

예를 들면 점 1개로도 정삼각형을 만들 수 있다고 가정했을 때 첫 번째 정삼각형을 만들기 위한 점은 1개, 두 번째 정삼각형을 만들기 위한 점은 3개가 같이 되겠죠.

자~
이제 삼각수를 직관적으로 이해하기 위해서 mtb자석을 이용해 정삼각형을 표현해 봅시다.
이 구모양의 자석이 점의 역할을 할 것이고, 긴 막대는 점들을 이어 도형을 만들어지는 역할을 할 것입니다.
먼저 구모양 자석을 1개 놓는 것으로부터 시작해 봅시다. 너무 간단하죠.
여기서 2개의 구모양 자석을 추가해 막대자석으로 이어붙여 정삼각형을 만들어 볼게요.
아직까진 무슨 규칙성이 있는지 잘 보이지가 않네요. 공 자석 3개를 밑에 이어붙어 조금 더 큰 정삼각형으로 만들어 볼까요.

자 이제 슬슬 규칙성이 드러나기 시작했네요.

그 다음에는 몇 개의 구 자석을 붙여서 정삼각형을 만들 수 있을까요.

음... 처음에 1개를 놓고 그 다음에 2개, 3개를 추가해서 삼각형을 만들었으니 그 다음엔 4개를 붙이면 되겠네요.
아하~결국 우리가 만들고 있는 정삼각형은 처음에 1개 그다음에 1+2개 또 다음은 1+2+3개 ...와같이 연속된 자연수의 합으로 만들 수 있겠군요.

연속된 자연수의 합의 일반항은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
우리는 삼각수를 이용한 수열의 시각적 묘사를 통해 자연수의 합을 쉽게 유추해 볼 수 있습니다.
자 삼각수의 4번째 항의 구자석의 개수를 구해보도록 하겠습니다. 우선 4층으로 되어있는 삼각형을 만들어 보겠습니다. 이 삼각형과 같은 삼각형 하나를 더 만든 후 앞서 만든 삼각형과 뒤집어 이어 붙여 보겠습니다.
이것을 좀 보기 편하게 움직여 볼게요.
우리가 흔히 알고 있는 직사각형이 되었네요.
가로가 5개 세로가 4개의 구자석으로 되어있으니 총 20개의 구자석이 있고 이것을 2로 나누면 원래 우리가 구하려고 하는 하나의 삼각수의 구자석의 개수가 됩니다.
이는 가우스가 초등학교 때 이용한 연속된 자연수들의 합을 구하는 방법입니다.

삼각수에서 앞항과 뒤항은 어떠한 관계가 있을까요?
두번째 항에서의 구자석의 개수와 첫 번째 항에서의 구자석의 개수를 빼 보면 3-1로 2가 됩니다. 3번째 항과 두 번째 항의 구자석의 개수를 빼면 6-3으로 3이 됩니다. 그 다음 과정도 역시 반복해 보면 4,5,6...이렇게 첫째항이 2이고 공차가 1인 등차수열을 이루게 됩니다. 우리는 이것을 계차수열이라 부릅니다.
계차수열 이란 그 수열의 인접하는 두 항의 차로 이루어진 수열입니다. 수열에서 항과 그 바로 앞의 항의 차를 계차 라고 하며, 이 계차들로 이루어진 수열을 그 수열의 계차수열이라고 합니다. 이를 수열의 합 공식으로 나타내면 다음과 같습니다.

그럼 앞서 만든 정삼각형을 크기순으로 이어붙어 정사면체를 만들면 어떤 구조가 될까요?
먼저 처음에는 앞서 만든 삼각수와 마찬가지로 구자석 1개를 둬봄으로써 시작합시다. 그다음에는 3개의 구자석을 1개의 구자석과 연결시켜 입체모형의 정사면체를 만듭니다. 그 밑에 5개의 구자석으로 만든 정삼각형을 이어붙어 조금 더 큰 정사면체를 만들어 주세요. 이때 이용하는 정삼각형은 앞서 삼각수를 알아보기 위해 만든 정삼각형들을 이용합니다.
이렇게 앞서 만든 삼각수를 이어붙여 정사면체를 만듦으로써 우리는 이 정사면체에 필요한 구자석의 개수 또한 알 수 있습니다. 처음에는 1개의 구자석이 필요하고 그다음 정사면체를 만들기 위해서는 1개에다가 1+2개를 추가한 1+(1+2)개, 또 다음에는 1+(1+2)개에 1+2+3개를 추가한 1+(1+2)+(1+2+3)개 이렇게 꾸준히 점점 큰 정사면체를 만들 수 있겠네요.
조금 복잡할 수도 있겠지만 앞에서 만든 삼각수들을 차례로 누적시켜 더한다고 생각하시면 이해에 도움이 될 수 있습니다. 이렇게 자연수의 합들을 누적해서 합하는 방법은 시그마를 이용하면 쉽게 수식으로 나타낼 수 있습니다.

지금까지 자석으로 도형수에 대해 알아보았습니다.

컬러비즈를 이용하여 도형수를 이용한 다양한 모양의 열쇠고리를 만들면서 도형수에 숨은 수열에 대해 더 탐구해보시길 바랍니다.