신비한 수학의 마술세계!
매쓰 트럼프카드와 수학자 카드를 이용한 즐거운 마술을 통해 역함수와 합성함수의 개념을 알아봅시다.

1.소속: 오송고등학교
2.지도교사: 이주선
3.주제: 즐거운 마술을 통해 역함수와 합성함수 알아보기
4.교육과정관련: 고1-수학 / II. 함수 -2.합성함수 / II. 함수 -3.역함수
5.채험재료: 매쓰 트럼프카드& 수학자 카드 (or 일반 원카드 or 탑재된 카드 프린트물)

6.영상자막
자 이제 역함수 마술을 시작하도록 하겠습니다.
여기에는 1부터 7까지의 정돈되지 않은 하트 카드들이 있습니다.
이걸 1부터 7까지 정돈되게 배열해보도록 할 건데요.
저는 아래에서 위로 한 장을 뽑아 보도록 하겠습니다.
A (1) 카드가 나왔네요.
그럼 이걸 1이라 하고 한 장을 올려 줍니다.
그래서 뽑게 되면 이것은 그럼 무엇이 될까요? (2요.)
그럼 2만큼 올려 줍니다.
하나, 둘
그러면 이건 3이 되겠죠?
하나, 둘, 셋
그러면 이거는 4가 될 테고
하나, 둘, 셋, 넷 올려주고
그럼 이건 뭐가 될까요. (5요.)
그러면 5장을 올려 줍니다.
하나, 둘, 셋, 넷, 다섯
자, 이렇게 해주게 되면 이 카드는 무엇이 될까요? (7이요.)
그럼 7이 맞는지 확인해보도록 하겠습니다.
7이네요.
그러면 여기부터 순섯대로 2, 3, 4, 5, 마지막 6입니다.
자 그럼 이제 역함수 마술 방법을 알려드리도록 하겠습니다.
이렇게 1부터 7까지의 하트 카드를 준비하신 뒤에
이 마술에는 사실 정해진 카드 배치 순서가 있습니다.
6, 3, 4, 7, 2, 5, A (1) 인데요.
이 카드를 이렇게 배치해야만 마술을 진행하실 수 있습니다.
이 카드를 이렇게 순서대로 배치한 뒤 뒤집고 아래서부터 뽑아줍니다.
그러면 여기 A (1)가 나오게 되고
1만큼 위로 올려주고 한 장 올려 준 뒤에 한 장을 뽑으면 2가 되고
두 장을 올려 주고 뽑으면 3이 나오게 되고
하나. 둘, 셋, 세 장을 올려 주고 뽑으면 4가 나오게 되고
하나, 둘, 셋, 넷, 네 장을 올려 주고 뽑으면 5가 나오게 되며
하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 다섯 장을 올려 주고 뽑으면 6이 나오고 다음에 7이 나오게 됩니다.
지금부터 마술에 적용된 역함수의 원리를 설명해드리도록 하겠습니다.
방금 영상에서 카드의 순서가 6, 3, 4, 7, 2, 5, 1이라고 알려드렸는데요.
카드를 이렇게 포개어 뒤집는 것이기 때문에 여기 A 즉, 1 카드의 면이 손바닥을 보도록 하여 아래에서부터 1, 5, 2, 7, 4, 3, 6의 순서가 됩니다. 카드를 정돈되게 하기 위해 처음에 이렇게 배열한 것입니다.
마술에서 1 카드는 첫 번째에 나왔고, 그리고 1만큼, 즉 한 장을 올리고 2 카드가 나왔습니다. 그리고 2만큼, 즉 한 장, 두 장을 올리고 3 카드가 나왔죠. 이와 같은 방법으로 3만큼 한 장, 두 장, 세 장을 올리고 4 카드가 나왔으며
4만큼 한 장, 두 장, 세 장, 네 장을 올리고 5 카드가,
5만큼 한 장, 두 장, 세 장, 네 장, 다섯 장을 올리고 6 카드가 나왔고
그리고 마지막으로 7 카드가 나왔습니다.
기존 1, 5, 2, 7, 4, 3, 6의 카드를 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7의 순서로 정돈되게 하는 것이 보여드린 마술이었습니다.
여기서 f 함수는 초기 배열의 순서에서,
그 카드들이 처음에 아래에서부터 몇 번째에 있어야 하는지에 대응하는 함수였고요.
f의 역함수는 반대로, 처음에 아래에서부터 순서대로,
첫 번째, 두 번째부터 7번째까지
초기 배열이 어떻게 되어야 하는 것인지에 대응하는 함수였습니다
즉, f의 역함수, f인버스n은 처음에 n번째에 가지고 있어야 할 카드를 의미합니다
카드의 숫자를 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7의 순서로 정돈되게 하기 위해서는
아래에서부터 첫 번째에 1 카드, 두 번째에 5 카드, 세 번째에 2 카드, 네 번째 7 카드, 다섯 번째에 4 카드, 여섯 번째에 3 카드, 일곱 번째에 6 카드가 있어야 한다는 것을 의미합니다.
네 그러면 합성함수 마술을 시작해보도록 하겠습니다.
여기에는 1부터 12까지의 카드가 준비되어 있는데요.
J를 11이라 하고, Q를 12라고 지정합니다. 그러면 속마음으로 카드 한 장을 골라 주세요.
고르셨나요? 마술사는 이제부터 보지 않겠습니다.
그러면 그 카드를 고르신 숫자, 그 숫자의 영문 철자 수로 이동하게 되는데요.
만약 2라고 하면 영문으로 two니까 철자가 총 세 글자죠? 그래서 3으로 이동해주시는 겁니다. 그런 식으로 한 번 이동해보시겠어요?
이동하셨나요? (네.)
그러면 그 이동한 숫자의 영문 철자 수만큼 시계방향으로 이동합니다.
만약 2라고 하면 철자가 영문으로 세 글자죠?
그래서 세 글자만큼 이동해서 5로 가주시는 거예요.
그런 식으로 이동해주시겠어요? (네.)
네, 이동하셨나요? (네.)
그러면 그 숫자에서 또 한 번 영문 철자 수만큼 시계 방향으로 이동해주세요.
이동하셨나요? (네.)
그러면 그 마지막으로 도착한 카드가 뭔지 제가 맞춰보겠습니다.
그 카드는 바로 A ♠입니다. (오...~~) 감사합니다!
네. 그러면 합성함수 마술 방법을 알려드리도록 하겠습니다.
여기에는 1부터 12까지의 카드가 준비되어있고요.
그리고 영문과 철자가 써있는 표도 함께 준비해주시면 좋습니다.
네, 사실 이 카드는 마술 방법에 의하면 A ♠로만 도달하게 돼 있습니다.
그러면 그 방법이 뭔지 알려드리도록 하겠습니다.
일단 첫 번째로 상대방에게 어떤 카드를 고를지 속마음으로 정해달라고 부탁합니다.
그러면 상대방이 만약에 ♠3을 선택한다면 이 숫자의 영문 철자 수로 이동하라고 말해줍니다.
3은 영문으로 three죠? 철자 수 5이기 때문에 5로 이동하라고 합니다.
그 다음에 숫자의 영문 철자 수만큼 시계 방향으로 이동하라고 말씀해줍니다.
그러면 5이기 때문에 영문으로 five죠.
그래서 철자 수만큼 4칸을 이동해주시면 됩니다
이렇게 이동했으면 한 번 더 숫자의 영문 철자 수만큼 시계 방향으로 이동하라고 해줍니다.
그러면 4는 영어로 nine이기 때문에 철자 수 4만큼, 4칸을 이동해줍니다.
그러면 A ♠에 도달하게 됩니다.
지금부터 마술에 적용된 함성 함수의 원리를 알아보겠습니다.
마술은 고른 카드에 적힌 숫자의 영문 철자 수로 시작하여 영문 철자 수만큼 이동하는 과정으로 이루어지는데요. 이 과정을 다음 두 가지 함수로 나타낼 수 있습니다.
숫자의 영문 철자 수로 이동하는 것이 함수 f이고
숫자의 영문 철자 수만큼 시계방향으로 이동하는 것이 함수 g입니다.
마술 전체과정은 함수 f와 g를 연이어 사용하므로 함수의 합성과 같고, 기호로는 이렇게 나타낼 수 있습니다.
먼저, 관객이 처음에 골랐던 숫자가 3인 경우를 살펴보겠습니다.
고른 숫자, 3의 영문 철자 수인 1, 2, 3, 4, 5, 5로 이동합니다.
그리고 5의 영문 철자 수만큼, 하나, 둘, 셋, 넷, 네 칸을 이동합니다.
또 한 번 9의 영문 철자 수만큼, 하나, 둘, 셋, 넷, 네 칸을 이동하면 1이 나오게 됩니다.
즉 f 합성을 하여 3에서 5로, 두 번의 g 합성으로 5에서 9로, 9에서 1로 가게 됩니다.
이번에는 관객이 처음에 골랐던 숫자가 6인 경우인데요.
6의 영문 철자 수인 1, 2, 3. 3으로 이동합니다.
그리고 3의 영문 철자 수만큼 하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 다섯 칸을 이동합니다.
또 한 번 8의 영문 철자 수만큼 하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 다섯 칸을 이동하게 되면 앞의 경우와 같이 마지막에는 1이 나오게 됩니다.
f 합성을 하여 6에서 3으로, 두 번의 g 합성으로 3에서 8, 8에서 1로 가게 되는 것인데요.
이 합성함수의 과정을 다음과 같이 나타내면 1부터 12까지의 함숫값이 ‘1’ 한 가지이므로 마술사는 관객이 처음에 어떤 카드를 고르든지 마지막에 보고 있는 카드가 1이라는 것을 알 수 있습니다.
지금까지 즐거운 마술을 통해 역함수와 합성함수를 알아보았는데요.
마술의 방법과 그 안에 담긴 수학 개념을 배우는 유익한 시간이 되었기를 바랍니다.
저희는 오송고등학교 Heritage였습니다.
오송고 수학 마술 부스에 참여해주셔서 감사합니다~