 확률 실험기(이항분포 실험기)를 직접 만들어 보고, 체험을 통해 확률에 관한 개념을 배워본다. 이론적으로 각 칸에 들어갈 구슬의 개수를 계산해보고 실험기에 직접 구슬을 넣어 기울여보는 확률 실험기 체험을 통해 수학적 확률과 통계적 확률의 관계를 탐구해본다.
1.소속: 오송고등학교
2.지도교사: 유인윤
3.주제: 확률실험기를 통한 확률의 이해
4.교육과정관련: 중②_Ⅵ . 확률 / 고_확률과 통계_Ⅱ. 확률 - 1. 확률의 뜻과 활용 /고_확률과 통계_Ⅲ. 통계 – 1. 확률분포
5.채험재료: 이항분포 실험기,양면테이프,가위,학습지,필기구
6.영상자막
안녕하세요 친구들 이번 영상에서는 확률실험기를 만들어보고! 수학적 확률과 통계적 확률을 알아볼게요! 우선 저 이T가 확률실험기 활동에 대해서 소개하고 민T와 확률실험기를 만들어보고 영T와 수학적확률, 통계적확률, 큰 수의 법칙에 대해 알아볼게요! 그럼 본격적으로 시작하기 전에! 모두 학습지하고 펜! 준비되어있나요? 아직 준비가 안되어있다면 지금 잠시 영상을 멈추고 학습지와 펜을 준비해주세요! 그럼 시작하겠습니다~
확률실험기를 만들어보기 전에 확률에 대해서 알아볼게요 어떤 시행에서 사건 A가 일어날 가능성을 수로 나타낸 것을 사건 A의 확률이라고 합니다 이것을 기호로 P(A)라고하는데요 이것은 모든 경우의 수 분의 사건 A가 일어나는 경우의 수라고 나타낼 수 있습니다
그럼 확률실험기를 민T와 함께 만들어봅시다
안녕하세요! 저는 여러분들의 체험을 도와줄 민T입니다 그럼 지금부터 확률실험기를 만들어보도록 하겠습니다 첫번째로 준비물을 가져와주세요 준비물은 확률 실험기 키트와 빨간색 구슬입니다 짠 우리 친구들 구성물을 모두 꺼냈나요? 그럼 지금부터 하나하나 소개해드리도록 하겠습니다 우선 계단모양의 나무 블록 2개 그다음에 육각형 모양의 나무블록 6개 울타리 모양의 나무 블록 4개 막대기 모양의 나무 블록 2개 그리고 빨간 구슬과 이 모든 것을 붙일 수 있는 하얀색 판 그리고 투명 아크릴 판이 필요합니다 원래 구성물에는 육각형 모양의 나무 블록이 16개 울타리 모양의 나무 블록이 6개가 있었는데 이번 시간에서는 육각형 모양은 6개 울타리 모양은 4개만 사용하도록 할게요 그럼 지금부터 만들어보도록 하겠습니다 짠! 여러분 이렇게 나무 블록들이 다 준비가 되어있는데요 그럼 첫번째로 이 양면테이프를 나무 목판에 다 붙여주도록 하겠습니다 뿅! 이렇게 양면테이프가 모두 붙여졌습니다 그럼 두번째로 넘어가보도록 하겠습니다 두번째로 이 하얀색 판에다 이 나무 블록들을 모두 다 붙여주도록 하겠습니다 그 다음에 한 가지 남아있는 나무도막을 0.8cm 잘라주시면 감사하겠습니다 그런 다음에 이 막대를 마지막으로 부착을 해줍니다 그 다음에 마지막으로 이 투명한 아크릴 판을 붙여주시면 됩니다 구슬을 넣었다 빼야되기 때문에 3분의 2지점까지만 양면테이프를 이용해 붙여주시면 됩니다
확률실험기에 16개의 구슬을 흘려 보낼 때 마지막 줄 각 칸에 구슬이 몇 개 들어갈지 한번 스스로 추론해 본 뒤 학습지를 채워주세요. 채워보셨나요? 그럼 저와 함께 알아볼게요 16개의 구슬을 흘려보내면 길이 두갈래로 갈리니 이론상으로는 반반 해서 8개씩 나뉘게 됩니다 이와 같은 방법으로 쭉 써내려가면 이렇게 첫번째칸부터 1개, 4개, 6개, 4개, 1개가 들어가 있게 됩니다 여기 마지막 줄 다섯번째 칸에 구슬에 떨어질 확률은 얼마일까요? 모든 경우의 수는 마지막 줄에 있는 경우의 수를 모든 더한 16이고 이 16가지 경우의 수에서 우리가 원하는 칸으로 구슬이 떨어지는 경우의 수는 1 이므로 모든 경우의 수 16분의 구슬이 마지막 통로에 떨어지는 경우의 수 1 이라고 해서 16분의 1이라고 구할 수 있습니다!
빨간 구슬 16개를 넣어주세요 그 다음에 16개를 넣은 확률실험기를 기울여주세요 짠 이러한 결과가 나왔습니다 맨 왼쪽부터 0개,5개,6개,5개,0개의 빨간 구슬들이 들어가있습니다 이론상으로는 아까 보았듯이 1개,4개,6개,4개,1개의 구슬이 들어가야하는데, 오차가 많은 모습을 볼 수 있죠? 왜 그런것일까요? 그러면 여기서 그치지 않고 좀 더 많은 수의 구슬을 넣어보겠습니다
이번에는 확률 실험기에 32개의 구슬을 흘려보낼 때 마지막 줄 각 칸에 구슬이 몇개 들어갈지 한번 스스로 추론해보고 학습지를 채워보신 다음에 저와 함께 확인해보겠습니다 이렇게 첫번째 칸부터 2개,8ㅐ,12개,8개,2개가 들어가 있게 됩니다
자 지금 구슬 32개를 확률실험기 안에 넣어봤습니다 그러면 확률실험기를 다시 한번 기울여보도록 하겠습니다 차례대로 1개,8개,14개,7개,2개의 구슬이 들어갔네요 이론상으로는 2개,8개,12개,8개,2개의 구슬이 들어가야 합니다 방금 전 16개의 구슬을 넣은 것과는 조금 더 이론상과 가깝게 나왔는데 그렇다면 구슬을 좀 더 넣어보도록 하겠습니다
이번엔 마지막으로 확률 실험기에 64개의 구슬을 흘려보낼 때 마지막 줄 각 칸에 구슬이 몇 개 들어갈지 한번 스스로 추론해보고 그리고 저와 함께 알아보겠습니다 이렇게 첫번째 칸부터 4개,16개,24개,16개,4개가 들어가 있게 됩니다
자 지금 빨간 구슬 64개가 확률실험기 안에 들어와있습니다 짠 64개이 구슬을 넣어보니 5개,16개,27개,12개,4개의 구슬이 들어가 있습니다 방금 보셨듯이 이론상으로는 4개,16개,24개,16개,4개의 구슬이 들어가야합니다 16개 그리고 32개의 구슬을 넣은 것보다는 훨신 이론과 가깝게 나온 모습을 볼 수 있죠?
여러분 확률 실험기 체험 영상은 잘 보셨나요? 그럼 지금부터 체험 영상 속에 들어있는 수학적 개념에 대해 설명하도록 하겠습니다 우선, 실험 영상 전에 언급했던 확률 개념에 대해 잘 기억해주시면서 설명을 들어주세요! 먼저 첫 번째로 수학적 확률은 시행에 대해서 일어날 수있는 모든 경우의 수가 N가지이고, 어떤 사건이 일어나는 경우의 수가 K가지일 때 어떤 사건이 일어나는 확률을 N분의 K라고 나타내고 이 확률을 수학적 확률이라고 합니다 화면 맨 아래에 표본공간 S의 원소의 개수 분의 사건A의 원소의 개수라는 식에서 표본공간이란 어떤 실험을 할 때 측정 가능한 모든 결과들의 집합을 말합니다
두번째로 통계적 확률을 같은 시행을 n번 반복하여 사건 A가일어날 횟수를 rn이라고하면 n이 한 없이 커짐에 따른 상대도수 n분의rn입니다 그럼 지금부터 여러분들의 이해를 돕기 위해 가위바위보를 예시로 들어 설명해보도록 하겠습니다 이론적으로 가위바위보를 분석해봤을 때 우리는 이길 확률 3분의 1, 비길 확률 3분의 1, 그리고 질 확률이 3분의 1이라는 것을 알 수 있습니다 하지만 실제로 친구들과 가위바위보를 할 때마다 매번 삼세판 중 한 번을 이긴다는 보장은 없습니다 이 때 이론적으로 구했던 이길 확률 3분의1은 앞서 설명했던 수학적 확률이고 실제 가위바위보 결과를 통해 구한 이길 확률은 통계적 확률을 의미합니다 우리는 이 가위바위보 예시를 통해서 수학적 확률과 통계적 확률이 꼭 같은 것은 아니고 오차가 발생할 수 있다는 것을 발견하게 됩니다 그럼 지금부터 수학적 확률과 통계적 확률의 관계에 대해서 알아보도록 하겠습니다 수학적 확률과 통계적 확률의 관계는 큰 수의 법칙으로 설명할 수 있습니다 우선, 큰수의 법칙은 어떤 시행에서 사건 A가 일어날 수학적 확률이 p이고 n번의시행에서 사건A가 r번일어난다고 할 때의 임의의 양수 α에 대하여 (n분의 r) -p의 절댓값이 α보다 작을 확률은 시행횟수를 늘릴수록 커진다는 법칙입니다 이 식에서 n분의 r의 값은 통계적 확률입니다 따라서 (n분의 r)- p의 절댓값은 수학적 확률과 통계적 확률의 오차를 의미하고 시행 횟수를 늘릴수록 수학적 확률과 통계적 확률의 차는 줄어들게 됩니다 시행 횟수가 늘어날수록 수학적 확률과 통계적 확률의 차는 0에 가까워지고 이에 따라 (n분의r)-p 절댓값이 임의의 양수 α보다 작은 확률은 점점 1에 가까워집니다
지금까지 큰 수의 법칙의 개념에 대해 알아봤는데요 우리는 확률실험기 체험속에서도 큰 수의 법칙을 발견할 수 있습니다 체험과정에서 우리는 체험 전에 이론적으로 계산한 각 칸에 들어갈 구슬의 개수와 실제 체험을 통해 각 칸에 들어간 구슬의 개수 사이에 오차가 발생하는 결과를 볼 수 있었습니다 오차가 발생하게 된 원인이 무엇일지 잠시 생각해보고 여러분의 의견을 학습지에 적어주세요 확률 실험기 체험에서 이론적으로 계산한 결과값과 실제 체험을 통해서 나온 결과값의 오차가 발생한 이유는 바로 구슬의 개수가 적었기 때문입니다 우리는 확률 실험기 속에 넣은 구슬의 개수가 늘어날수록 이론적 결과값과 실제 실험을 통해 도출해낸 결과값의 오차가 점점 작아진다는 것을 확인할 수 있습니다 우리는 이런 현상에서 큰 수의 법칙을 찾을 수 있습니다 큰 수의 법칙은 시행횟수가 늘어날수록 수학적 확률과 통계적 확률의 차가 줄어든다는 의미였습니다 확률 실험기 체험과정을 이 법칙에 대입하면, 수학적 확률은 이론적으로 계산한 각 칸에 들어갈 구슬의 개수이고, 통계적 확률은 실제체험을 통해 알아낸 각 칸에 들어간 구슬의 개수입니다 그리고 시행횟수는 확률 실험기에 넣는 구슬의 개수를 의미합니다 따라서 우리는 확률실험기 체험과정에서 시행 횟수 즉, 구슬의 개수를 늘릴수록 수학적 확률과 통계적 확률의 차가 점점 줄어들어 0에 가까워지는 큰 수의 법칙에 성립함을 알 수 있습니다
128개의 빨간 구슬을 넣어보았습니다 차례대로 8개,32개,48개,32개,8개의 구슬이 들어가 있는데요 이론과 똑같은 수의 구슬이 들어간 모습, 보이시나요? 이렇듯 빨간 구슬이 점차 늘어날수록 이론과 실제 해본 실험의 결과값이 비슷해지는 모습을 볼 수 있습니다
여러분 혹시 확률 실험기 체험과정에서 각 칸에 들어가는 구슬의 개수 외에도 구슬들이 쌓인 모양이 점점 어떤 형태로 변해갔는지 기억나나요? 확률실험기에 넣는 구슬의 개수가 늘어갈수록 구슬들이 쌓이는 모양은 점점 봉긋한 산 모양이 되어갑니다 이런 모양은 다음과 같은 그래프의 모양과 비슷해 보이지 않나요? 이런 그래프를 바로 정규분포곡선이라고 합니다 아쉽게도 오늘 저희는 정규분포에 대해 다루지않지만 고등학교 수학과목 중 하나인 확률과 통계에서 배우니까요 이런 형태의 그래프가 정규분포 곡선이라는 것만 기억해두셔도 좋을 것 같습니다
저희는 지금까지 확률 실험기 체험을 통해 수학적 확률과 통계적 확률, 그리고 큰 수의 법칙에 대해 알아본 오송고등학교 수학 동아리 루피였습니다 지금까지 저희의 체험에 참여해주신 여러분 정말 감사하고 다음시간에 만나요! 안녕!
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