아르키메데스 다면체 (준정다면체)중 부풀린 십이이십면체를 만들어보며 이를 관찰하고, 나아가 아르키메데스 다면체가 무엇이며 어떤 원리를 담고 있는지 탐구한 뒤, 우리의 실생활 속 활용 방안에 대해 알아보고 고민해본다.
 
1.소속: 교원대부설고등학교
2.지도교사: 장은혁
3.주제: 부풀린 십이이십면체
4.교육과정관련: 중1 V. 평면도형과 입체도형-2입체도형의 성질
5.채험재료: 부풀린 십이이십면체 키트
6.영상자막
2020 온라인 충북수학나눔축제 무한체험마당 체험부스 – 부풀린 십이이십면체 만들기
다들 엘리베이터에서 이 필름 한번쯤은 보셨죠?
이것의 정체는 바로 구리나노향균필름!
이 필름에는 요즘 각광받고 있는 나노 기술이 사용되었는데요, 나노 분야에서는 굉장히 의외의 수학적 개념이 사용된다고 합니다.
어떤 수학 개념인지 은 나노입자를 보고 맞춰보시겠어요?
다들 뭔지 예상이 가시나요?
정답은!!! 정다면체입니다
정다면체는 이렇게 다섯 가지가 있는데요, 정다면체들의 대칭성은 나노 입자들의 물리/화학적 안정성에 큰 기여를 하기 때문에 많이 이용된다고 합니다.
정사면체의 경우에는 금 원자 20개로 만들어진 나노클러스터가 이루고 있는 구조이며, 정이십면체와 정십이면체의 경우에는 앞에서 봤던 은 나노입자를 이루고 있답니다!
어? 잠시만! 정다면체는 아닌데 대칭성도 있고 규칙성도 있어보이는 이 구조는 뭐죠?
바로 정다면체의 친구 준정다면체입니다!
준정다면체란?
두 종류 이상의 정다각형으로 이루어져 있으면서 각 꼭짓점에 모인 면의 개수가 같은 입체 도형으로 아르키메데스가 발견하여 아르키메데스의 다면체라고도 합니다.
준정다면체는 총 3가지의 방법으로 만들 수 있다고 합니다.

• 잘라내기 – 정다면체의 꼭짓점을 자르면 준정다면체를 만들 수 있다

정다면체 모서리의 1/2 지점에서 꼭짓점을 잘라내면 깎은 정다면체 5개를 만들 수 있다.
깎은 정사면체, 깎은 정육면체, 깎은 정팔면체, 깎은 정십이면체, 깎은 정이십면체
정다면체 모서리의 1/2 지점에서 꼭짓점을 잘라내면 정육면체와 정팔면체는 육팔면체가 되고, 정십이면체와 정이십면체는 십이이십면체가 된다.
육팔면체, 십이이십면체

• 절단하기 – 정다면체 모서리의 1/2 지점을 자른 준정다면체의 꼭짓점을 자른다.

준정다면체 모서리의 1/3 지점에서 꼭짓점을 잘라내면 깎은 육팔면체와 깎은 십이이십면체를 만들 수 있다.
깎은 육팔면체, 깎은 십이이십면체
준정다면체 모서리의 1/2 지점에서 꼭짓점을 잘라내면 부풀린 육팔면체와 부풀린 십이이십면체를 만들 수 있다.
부풀린 육팔면체, 부풀린 십이이십면체 (이번에 만들 것!)

• – 정육면체와 정십이면체의 각 면을 부풀려 빈 부분을 삼각형으로 채워준다.

부풀리기로 만들어지는 입체 도형은 총 2개로, 다듬은 육팔면체 (부풀린 정육면체)와 다듬은 십이이십면체 (부풀린 정십이이십면체)가 있다.
자, 그러면 오늘 만들어볼 준정다면체에 대해 알아볼까요?
바로.. 부풀린 십이이십면체입니다!
부풀린 십이이십면체는 62개의 면과, 120개의 모서리, 그리고 60개의 꼭짓점으로 이루어진 아르키메데스 다면체입니다!
부풀린 십이이십면체는 정십이면체 또는 정이십면체를 부풀려서 만들 수 있습니다!
잠깐! 본격적으로 만들기 전에…
이렇게 만들 수 있는 준정다면체, 나노 기술을 제외하고 또 어떤 곳에서 활용이 될까요?

• 돔

지오데식 돔은 반구형 혹은 바닥이 일부 잘린 구형의 건축물입니다.
표면은 삼각형의 구면 격자로 이루어져 있으며, 삼각형의 모서리와 면으로 응력을 분산시켜 얇은 껍질만으로도 하중을 지탱할 수 있답니다.

•  

엥? 말도 안 돼! 축구공은 동그랗잖아요? 하지만 축구공은 구가 아닌 깎은 정이십면체라는 사실!
짠 정오각형과 정육각형만으로 이루어진 것을 확인할 수 있어요.
실생활에서 어떻게 활용될 수 있는지도 다 보았으니, 이제 한 번 만들어볼까요?
여러분 안녕하세요?
키트의 포장지를 뜯어 내용물을 꺼내줍니다.
색지는 색깔별로 1개씩만 꺼내주고 나머지는 안 쓰니 치워줍니다. 준비 끝!
자, 그럼 이제 본격적으로 만들어볼까요?
색상지에서 유닛들을 뜯어줍니다. 방금 과정을 30회 반복하면 모두 뜯어져 있을 겁니다!
두 유닛을 집어 서로 연결해줍니다. 여기 보이는 홈을 다른 유닛에 있는 홈에 끼워줍니다.
주의사항 유닛을 끼울 때 꽉 끼우지 않으면 나중에 힘들 수 있으니 꼭 꽉 끼울 것!
이런 유닛에 하나를 끼웠고, 이제 세 개, 네 개, 다섯 개를 서로 끼워 오각형을 만들어줍니다.
자 만들었습니다. 오각형이 보이시죠?
이제, 오각형에서 붙어있는 두 유닛을 새로운 유닛으로 이어줍니다.
만들 때 둥근 모양을 잡아가면서 만들어주세요!
이 모양에서는 정사각형, 정삼각형, 그리고 정오각형까지 서로 다른 세 개의 정다각형을 찾을 수 있어요!
정삼각형과 정오각형이 만들어지도록 계속해서 만들어가면 됩니다!
작품이 슬슬 동그래지기 시작했어요!
1/2 정도 만든 모습입니당
여기서도 삼각형과 오각형이 보이죠?
이제 한 조각만 끼우면 완성이에요!
짜잔 완성입니다!!!!
이 부풀린 십이이십면체에서는 정삼각형, 정사각형, 그리고 정오각형이 있어요. 정다면체로 만들었지만 하나의 구처럼 동그랗네요!
마지막 요약 정리!

• (두)종류 이상의 정다각형으로 이루어져 있으면서 각 꼭짓점의 모인 면의 개수와 모양이 일정한 다면체를 말한다. (아르키메데스의 다면체)라고도 한다.
• 십이이십면체를 만드는 과정에서 확인할 수 있는 도형에는 (정삼각형)와 (정사각형), 그리고 (정오각형)가 있었다.
• 모서리의 (1/2)지점을 자르면 육팔면체가 되고, 육팔면체의 꼭짓점을 다시 잘라내면 (십이이십면체)가 된다.

4. 오일러의 정리를 이용해서 부풀린 십이이십면체의 모서리의 개수를 구해보자.
부풀린 십이이십면체의 면의 개수는 62이고, 꼭짓점의 개수는 60개이다. 따라서 모서리의 개수는
(60)-(모서리의 수)+(62)=2를 만족하므로 (120)개이다.
여러분과 함께 알아본 부풀린 십이이십면체!! 잘 이해하셨나요??
지금까지 AHSKNUE의 P.O.M 이었습니다! 감사합니다!
 
 
 
 
 



동영상 내용 출처:
https://www.hankookilbo.com/News/Read/202004031553037201