사이클로이드 곡선의 정의에 대해 알아보고 삼각함수를 통해 그 식을 나타내 본다.
사이클로이드 곡선 미끄럼틍과 직선 및 다양한 곡선 미끄럼틀과 비교해보자.
과연 어느 미끄럼틀이 가장 빠를까?

1.소속: 충주여자고등학교
2.지도교사: 송수경
3.주제: 사이클로이드 곡선
4.교육과정 관련: 고2 기하 평면벡터
5.체험재료: 사이클로이드 곡선케트, 우드락, 켄트지, 글루건, 칼, 가위
6.자막

어! 왜 그래?
너무 재미가 없어. 더 빨랐으면 좋겠어.
그럼 내가 한 번 밀어줘볼게.
그래!
자 밀어볼게. 하나 둘 셋 어때?
그래도 좀 더 빨랐으면 좋겠어. 좀 더 빠르게 탈 수 있는 방법 없을까?
우리가 알려줄게!
 
사이클로이드 곡선을 이용하면 가장 빨리 내려올 수 있어. 사이클로이드 곡선은 직선 위에 원을 그렸을 때, 원 위에 한 점이 이루는 곡선을 말해. 이 곡선이 사이클로이드 곡선이야.
 
그렇다면 사이클로이드 곡선을 식으로 어떻게 나타낼 수 있을까? 사이클로이드 곡선의 매개변수 방정식에 대해서 알아보자. 사이클로이드 곡선을 그리는데 활용된 원을 두 개 그리고, 이 사이클로이드 곡선을 이루게 되는 점 P의 좌표를 P(x,y)라고 했을 때, 이 P는 이 원이 굴러가면서 O에서 P로 이동하게 된 거야. 그리고 이 P와 원의 중심인 C, 그리고 Q가 이루는 각을 라고 했을 때, 이 삼각형을 좀 더 크게 그려보면 이렇게 돼. 이때 이 원의 반지름을 r이라고 하면 PC의 길이는 r, CQ의 길이는 rcos , PQ의 길이는 rsin 가 돼. 이걸 정리해서 써보면 이렇게 쓸 수 있어. 그리고 이 원이 이쪽으로 굴러간 거기 때문에 OT의 길이와 호 PT의 길이가 같아. 여기서 PT의 길이를 중심각의 크기와 호의 길이가 비례하는 것을 통해 알아볼 건데 이 전체 원의 둘레의 길이는 2 r이 되고 그리고 원의 중심각의 전체는 360도가 되어서 2 라고 쓸 수 있어. 그리고 이 비는 호 pt의 길이와 중심각 의 길이와 같아져. 따라서 PT의 길이는 r 로 나타낼 수 있어. 이제 정리해보면, X=OT-RT의 길이를 뺀 것으로 나타낼 수 있어. 그래서 여기에 대입을 해보면, OT의 길이는 호 PT의 길이와 같으므로 r 에서 RT의 길이인 PQ의 길이를 빼면 rsin 가 돼. 그래서 다시 정리해보면 r( -sin )로 나타낼 수 있고 y=CT의 길이-CQ의 길이로 나타낼 수 있고, CT의 길이는 반지름 r이고, CQ의 길이는 rcos 가 되므로 r(1-cos )로 나타낼 수 있어.
 
아하~~ 사이클로이드를 활용하면 미끄럼틀을 더 빨리 내려올 수 있겠구나
음,, 근데 그게 진짜일까?
엇 이게 뭐지? 사이클로이드 미끄럼틀?
그럼 우리 이걸로 사이클로이드 미끄럼틀이랑 직선 미끄럼틀을 먼저 만들어보자.
좋아!
짠~~!!
이제 사이클로이드 곡선이 완성됐으니 한 번 해보자! 하나 둘 셋
오~~ 근데 진짜 사이클로이드 보다 더 빠른 내리막길은 없을까?
우리 그럼 다른 내리막길도 만들어서 비교해보자!
그래!
자 그럼 준비물 좀 살펴볼까?
그래! 먼저 미끄럼틀의 옆면은단단한 우드락으로, 그리고 미끄러믈의 윗면은 구부러질 수 있는 종이로 하는 거야.
그리고 나머지 붙일 것들과 자를 것들이 준비되면 끝!
짠! 이렇게 세 개의 미끄럼틀이 더 완성됐는데 먼저 이건 사이클로이드 보다 기울기가 완만한 미끄럼틀이고. 이건 울퉁불퉁한 미끄럼틀이야. 그리고 이건 원의 호 모양 미끄럼틀이야.
근데 이걸 어떻게 비교하면 좋을까?
다섯 개를 토너먼트 식으로 뭐가 더 빠른지 비교해보면 어떨까?
오 좋아. 그러면 이렇게 두 개를 먼저 비교하고 이렇게 두 개를 비교하고 사이클로이드 곡선은 부전승으로 올라가는 걸로 하자.
 
먼저 원의 호 모양의 미끄럼틀과 울퉁불퉁한 미끄럼틀을 비교해보자.
울퉁불퉁 미끄럼틀 승!~!
자 이제 두 번째로 사이클로이드보다 완만한 미끄럼틀이랑 직선 미끄럼틀을 비교해보자.
완만한 곡선의 미끄럼틀 승!~!
자 벌써 준결승이네? 지금은 울퉁불퉁한 곡선과 사이클로이드보다 조금 더 완만한 곡선을 비교해보자.
완만한 미끄럼틀 승!~!
자 이제 결승이야! 사이클로이드 곡선이랑 사이클로이드 곡선보다 조금 더 완만한 곡선이야. 자 이제 해볼게.
사이클로이드 미끄럼틀의 최종 승리
 
이번 실험을 통해 사이클로이드 곡선이 제일 빠르다는 걸 증명해낼 수 있었어.
맞아! 내가 책에서 찾아보니까 롤러코스터에 쓰여서 우리에게 스릴감을 주고, 한옥 기와에 쓰여서 눈이나 비를 더 빨리 떨어지게 해준대!
이~ 진짜 실생활에 많이 사용되는 구나!
여러분들도 사이클로이드에 대해 더 탐구해보는 시간을 가지면 어떨까요?
자 저희 영상은 이렇게 마무리 하도록 하겠습니다.
저희의 영상을 시청해주셔서 감사합니다!!!!