안녕하세요? 저는 충주여고 김예본입니다. 저는 오늘 집에서 즐길수 있는 수학, 프랙 탈구조인 시에르핀스키 피라미드를 만들어보겠습니다.
-프렉털 도형이란? 프랙털도형은 어느 부분을 보더라도 일정한 규칙에 따라 전체와 닮은 모양을 이루고 있는 도형입니다. 이와 같은 성질을 ‘자기 유사성’이라고 합니다. 따라서 프랙털 도형은 아무리 작게 축소하거나 크게 확대하여도 항상 전체와 같아지는 신비한 성질이 있습니다. 이러한 프랙털도형은 해안선 뿐만 아니라 동물의 혈관, 눈의 결정, 고사리의 잎 등 자연 곳곳에서 찾아볼 수 있습니다.
-복소수와 프랙털도형 이러한 프랙털 도형은 복소수를 이용하여 정의할 수 있고, 복소수 z= a+bi를 실수 a,b의 순서쌍 (a,b)에 대응시켜 좌표평면 위에 점으로 나타내어 그릴 수 있습니다. 프랙털도형은 그 모양이 복잡하여 실제 그림으로 그리는 것이 어려웠으나, 20세기 후반 컴퓨터가 발달하면서 그림으로 구현할 수 있게 되었습니다. 컴퓨터로 작업한 프랙털 도형은 예술에 접목하여 넥타이, 포장지 등을 디자인할때 응용하기도 하고 기술적으로는 이미지 압축에 사용하기도 합니다.
-등비수열로 프랙털도형 넓이구하기 프랙털도형넓이는 등비수열로 구할 수 있습니다. (문제) 한변의 길이가 4인 정삼각형 모양의 종이가 있습니다. 그림과 같이 1회의 시행에서 각 변의 중점을 이어서 만든 정삼각형을 오려내고, 2회 시행에서는 1회 시행 후 남은 3개의 작은 정삼각형에서 같은 방법으로 만든 정삼각형을 오려냅니다. 이와 같은 시행을 10회 반복한 후 남아있는 종이의 넓이를 구해봅시다. 한 의 길이가 4인 정삼각형의 넓이는 사분의 루트삼곱하기 사의 제곱은 사루트삼입니다. 1회 시행 후 남아 있는 종이의 넓이는 사루트 삼 곱하기 사분의 삼입니다. 2회 시행 후 남아 있는 종이의 넓이는 사루트 삼 곱하기 사분의 삼의 제곱입니다. 엔 회 시행 후 남아있는 종이의 넓이는 사루트 삼 곱하기 사분의 삼의 엔 제곱이므로, 따라서 10회 시행 후 남아 있는 종이의 넓이는 사루트 삼 곱하기 사분의 삼의 10제곱입니다. 이런 으로 프랙탈 도형의 넓이를 구할 수 있습니다.
오늘 프렉털 구조인 시에르 스키 삼각형을 4D프레임을 사용해서 만들려고 합니다. 4D프레임은 모든 도형을 이루는 가장 기본 단위를 연결해서 골격, 뼈대를 이루어 점차적으로 다양한 다면체 및 무한한 창조 작품을 만들 수 있는 조립 교구입니다.
연결봉은 3cm 5cm 6cm 7cm 10cm 등이 있고 연결발은 일자 3발, 4발, 5발, 6발, 8발, C자 고리 등이 있습니다.
포디 레임으로 만들 수 있는 도형을 제가 미리 몇 개 만들어 보았습니다. -이것은 정육면체입니다. -이것은 뫼비우스띠입니다. -그리고 이것은 제가 만든 어린 왕자입니다.
이제, 4D프레임으로 프랙털구조인 시에르핀스키 삼각형을 만들어보겠습니다. 비물은 아래와 같습니다. 디프레임 6발과 길이 7cm인 연결봉이 필요합니다. 단계 시에르핀스키 피라미드를 만드는데 필요한 것은 6발 6개, 연결봉 24개입니다.
1. 6발에 한 발 건너 하나씩 연결봉을 끼웁니다. 2. 세 짓점 모두 한발씩 건너뛴 삼각형을 만듭니다. 3. 한발은 위로 세발은 아래로 향하는 삼각형이 됩니다. 4. 위 아래 남은 모든 발에 연결봉을 끼웁니다. 5. 새로운 삼각형을 만들어봅시다. 6. 세 꼭짓점 모두 팔을 벌리고 있는 이 발에 연결봉을 끼웁니다. 7. 이제 만들어 둔 이것과 합체해줍니다. 8. 이것이 바로 1단계 시에르핀스키 삼각형입니다. 그러면 이 부분도 삼각형, 전체도 삼각형인 프랙탈 구조가 보이시나요?
이게 끝이 아닙니다. 1단계 시에르 핀스키 삼각형을 4개 연결해서 2단계 시에르 핀스키 삼각형을 만듭니다. 자 이렇게 1단계 시에르 핀스키 삼각형을 연결해서 2단계 시에르 핀스키 삼각형을 만들었습니다. 이곳도 삼각형, 이곳도 삼각형, 전체가 삼각형인 프렉털 구조가 보이시나요? 이제 2단계 시에르 핀스키 삼각형 4개를 연결해서 시에르 핀스키 삼각형 3단계를 만들어보겠습니다. 3단계에서도 프렉털 구조가 보이시나요? 3단계 4개를 가지고 4단계를 만들어보겠습니다. “4D프레임으로 시에르핀스키 피라미드 만들기 완성! 집에서 즐기는 수학, 우리 일상생활 가운데서 쉽게 만날수 있는 수학적 질서를 기분 좋게 즐기시기 바랍니다. 감사합니다.
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