이 주제는 도형수와 관련된 활동을 통해 도형수의 의미를 알고, 삼각수를 활용하여 여러 가지 방법으로 문제를 해결해 나가는 내용을 담고 있으며 수학Ⅰ의 수열에 관한 내용과 실용 수학의 식과 규칙 단원을 묶은 것입니다.

1.소속: 청주여자고등학교
2.지도교사: 오수정
3.주제: 컵쌓기를 이용해 삼각수 이해하기
4.교육과정관련: 고2 Ⅲ.수열 -1.등차수열과 등비수열~ 2.수학적귀납법
5.채험재료: 종이컵
6.동영상자막

진갈색 곰: 지금부터 대회를 시작하겠습니다. 제한 시간은 단 1분, 그럼 지금부터 시작합니다!
 
(대회 후)
 
진갈색곰: 우승하신 소감이 어떠신가요?
연갈색곰: 아 정말 좋죠.
진갈색곰: 우승하시게 된 이유가 무엇이라고 생각하시나요?
연갈색곰: 제가 도형수, 삼각수의 원리를 잘 이해하고 연습했기 때문이라고 생각합니다.
진갈색곰: 그렇군요. 컵 쌓기에 삼각수가 활용되나요?
연갈색곰: 네. 삼각수와 컵 쌓기는 깊에 연관되어 있습니다. 원리를 한 번 들어보실래요?
 
연갈색곰: 지금부터 컵쌓기에 활용된 삼각수의 원리를 설명해드리겠습니다.
회색곰: 삼각수를 설명하기에 앞서 도형수 먼저 설명해드리도록 하겠습니다.
먼저 도형수란, 도형의 모양으로 변형된 점의 개수와 도형을 대응시킨 것으로 예로는 삼각수와 사각수 등이 있습니다.
연갈색곰: 저희는 그중에서 삼각수에 대해 알아볼건데요.
삼각수란 정삼각형 모양의 점을 배열할 때 배열한 점의 개수를 말하며, n번째 삼각수가 있다고 할 때 n이 3이라면 1부터 3까지의 자연수의 합으로 나타낼 수 있습니다.
 
연갈색곰: 이제 제가 우승할 수 있었던 수열 방식을 알아볼건데요. 우선 기본 개념부터 알아보겠습니다.
여기 써놓은 수열은 첫째항이 1이고 공차가 1인 n까지의 수열을 나타낸 것입니다. 이 수열을 등차수열이라고 하는데 공차가 1이라는 것은 숫자간의 차이가 1씩 나는 것을 말합니다.
이 수열의 합을 나타낼 때는 시그마를 사용하는데, 시그마를 사용해서 1부터 n까지의 합을 나타낼 수 있습니다. 공식을 사용하면 2분의 n(n+1)로 구할 수 있습니다.
 
회색곰: 이제 이 공식을 이용해 삼각수를 구해보도록 하겠습니다. 제가 설명할 첫번째 공식은 2x(6번째 삼각수)-(3번째 삼각수)입니다.
여기서 2를 곱하는 이유는 삼각수가 두개이기 때문에 2를 곱하고, 3번째 삼각수를 빼는 이유는 두 삼각수가 겹치는 부분인 보라색 부분을 의미하기 때문입니다.
이 공식을 시그마로 나타낸다면.. (식 쓰는 중) 이렇게 나타낼 수 있고, 이걸 수로 나타낸다면 (식 쓰는 중) 으로 나타낼 수 있습니다.
이 식을 계산한다면 (식 쓰는 중) 36이 되고 따라서 이 컵의 개수는 총 36개가 됩니다.
 
연갈색곰: 저는 두번째 방법으로 설명하겠습니다. 저는 9번째 삼각수에서 3번째 삼각수를 빼고, 2번째 삼각수를 빼서 왼쪽에 있는 컵의 개수를 구할 것입니다. 먼저 9번째 삼각수를 구하는데 시그마를 사용합니다.
(식 쓰는 중) 그리고 3번째 삼각수를 구할 때도 시그마를 사용합니다.
(식 쓰는 중) 마찬가지로 2번째 삼각수를 구할 때도 시그마를 사용합니다.
(식 쓰는 중) 식을 다시 써보면 (식 쓰는 중) 이렇게 됩니다.
그리고 계산을 해보면 (식 쓰는 중) 따라서 36이 됩니다.
 
연갈색곰: 자 그러면 지금까지 설명한 내용을 정리해보겠습니다. 2번째 삼각수에서는 1+2해서 3으로 나타낼 수 있고, 3번째 삼각수에서는 1+2+3해서 6으로 나타낼 수 있습니다.
회색곰: 마지막으로 4번째 삼각수에서는 1+2+3+4로 10인 삼각수를 만들 수 있습니다.
연갈색곰: 이제 컵의 개수를 늘려 아까 그림으로만 보여드렸던 컵의 개수 구하기 원리를 실제 컵을 사용하여 다시 한 번 보여드리겠습니다.
회색곰: 지금 저희는 맨밑의 컵의 개수가 9개인 삼각수를 쌓고 있습니다.
 
(컵을 쌓은 후)
 
회색곰: 이 컵의 개수를 9번째 삼각수로 구해보면 1부터 9까지의 숫자를 모두 더해 총 45개의 컵의 개수가 나타납니다.
저희는 9번째 삼각수까지 모두 구해보았는데요.
연갈색곰: 여러분들은 총 몇개까지의 컵을 쌓아 삼각수를 구할 수 있는지 생각해보세요!