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피타고라스 음계2 게시글 상세정보
피타고라스 음계2
작성자 융합인재부 이메일
조회 101 등록일 2023/11/22
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우리는 지난 영상에서 피타고라스가 어떻게 음계를 만들었는지 그 수학적 방법에 대해 알아보았습니다. 또한 피타고라스는 음악과 음계를 강력한 증거로 제시하면서 세상 만물이 두 정수 사이의 비로 표현된다고 주장했다는 점도 알게 되었는데요. 그런데 여기서 중요한 문제가 있습니다. 세상 만물이 두 정수 사이의 비로 표현이 된다고 하는 주장에는 두 정수 사이의 비로 표현되지 않는 수는 존재하지 않는다는 믿음이 있었습니다. 피타고라스가 살던 당시의 시대에는 무리수에 대한 개념 자체가 거의 없었던 것인데요. 하지만 현재 여러분들은 두 정수 사이의 비로 표현되지 않는 수, 즉 무리수가 존재한다는 것을 알고 있을 것입니다. 이렇게 유리수만이 세상 수의 전부라고 믿었던 피타고라스의 믿음에 어떤 오류가 있다면 피타고라스의 음계에도 어떤 오류가 있지는 않을까요? 아마도 지난 영상을 보고 피타고라스 음계의 숫자들을 계산해 본 여러분이라면 피타고라스 음계의 문제점에 대해 눈치챘을 텐데요. 피타고라스의 원리에 의해 만들어진 음계들을 나타내는 수를 다시 한 번 살펴보겠습니다. 이 중 어떤 숫자가 이상한지 찾았나요? 맞습니다. 그것은 바로 도에서 시작한 경우 가장 마지막으로 발견하는 파를 나타내는 길이의 숫자입니다. 여러분들이 찾은 값은 아마도 표에 나와있는 이 아니었을 것입니다. 그럼 파 음이 나오기 직전의 음인 시에서 출발하여 파를 나타내는 수를 만들어보겠습니다. 시는 입니다. 그렇다면 시에서 5도 높은 음인 한 옥타브 높은 파를 나타내는 숫자는 일 것입니다. 그렇다면 한 옥타브 낮은 파는 입니다. 꽤 복잡한 수가 나오죠? 그렇다면 제시된 표 안에 들어있는 파를 나타내는 이라는 수는 어떻게 얻어진 것일까요? 시에서 출발해 파의 값을 구하지 않고 반대로 파에서 5도 높은 음은 한 옥타브 높은 도라는 사실을 이용하여 역으로 계산해보겠습니다. 파에서 5도 높은 한 옥타브 높은 도를 나타내는 수는 입니다. 이것은 파를 나타내는 수에 를 곱하면 이 되어야 한다는 것을 의미합니다. 따라서 파를 나타내는 수는 입니다. 똑같은 파라는 음을 나타내는 수를 어떻게 찾느냐에 따라서 서로 다른 값을 얻는다는 것은 피타고라스가 음악을 만든 수학적 원칙에 문제점이 있음을 의미합니다. 이렇게 피타고라스가 제시한 음계의 수들을 2세기 초반 그리스의 천문학자이자 수학자인 프톨레마이오스가 간단한 값으로 고쳐 다음과 같이 순정률을 발표하게 됩니다. 즉, 순정률은 정수의 비를 이용해 음을 조율하는 방법이죠. 그러나 순정률에는 한 가지 단점이 있었는데요. 순정률은 곡을 연주하다가 조바꿈을 할 때 어려움이 있었습니다. 그래서 음악가인 요한 제바스타인 바흐가 한 옥타브 안에 있는 12음을 똑같은 간격으로 나누어 음을 조율하는 방법인 평균율을 클라리넷 24곡집을 통해서 발표합니다. 바흐의 평균율에 따르면 쏠 음을 나타내는 숫자는 무리수이고, 피타고라스 음계에 따르면 쏠 음을 나타내는 숫자는 로 유리수입니다. 이렇게 평균율이 도입되면서 다양한 조바꿈이 가능해지고 여러 조성에서 곡을 연주하는 것이 가능해졌죠. 이로 인해 우리는 바흐를 음악의 아버지라 부르게 되었습니다. 그렇다면 순정률과 평균율로 표현되는 음의 차이는 어떨지 궁금하지 않나요? 소리의 차이는 여러분이 스스로 찾아보길 바랍니다. 피타고라스와 바흐가 만든 음률을 체험하면서 음악과 수학 사이에 숨어있는 아름다운 관계를 발견해보세요!
 
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