우리의 귀를 즐겁게 하고 마음까지 편안하게 해주는 음악, 우리는 왜 음악을 듣고 안정감을 느끼는 걸까요? 이것에 대해 연구했던 한 수학자가 있습니다. 6세기 초 철학자 보에티우스 기록에 의하면 음률의 수학적 체계는 그리스의 유명한 철학자이자 수학자였던 피타고라스에 의해 만들어졌는데요. 여러분은 피타고라스 하면 무엇이 떠오르나요? 아마도 피타고라스의 정리가 떠오를 것입니다. 하지만 피타고라스는 수학 분야 뿐만 아니라 음악에서도 대단한 큰 업적을 남긴 사람입니다. 피타고라스가 만든 음률의 수학적 체계는 현대 음계 이론의 출발점이라고 볼 수 있습니다. 그럼 피타고라스가 어떻게 음률의 수학적 체계를 만들게 되었는지 좀 더 자세히 알아보도록 하죠. 피타고라스는 어떤 특정한 경우에는 서로 잘 어울리는 화음이 되고, 어떤 때에는 서로 어울리지 않는 화음이 되는 것을 알고 있었는데 어떠한 경우에 잘 어울리는 화음이 되는지 항상 궁금해했습니다. 조화를 이루는 두 음 사이의 관계에 대해 알고 싶어했죠. 유명한 이야기에 따르면 피타고라스는 대장간을 지나다 조화를 이루는 두 음 사이의 관계에 대해 힌트를 얻었다고 합니다.어느 날 피타고라스는 대장간 옆을 지나가다 소리를 들었는데요.늘 듣기 싫던 소리가 그 날 따라 이상하게 좋게 들렸다고 합니다.대장장이들이 망치로 내려치는 소리에 매료된 피타고라스는 생각했습니다. 평소와는 달리 좋은 소리가 나는 이유는 무엇일까? 비밀은 바로 두 망치 길이 사이의 관계에 있었습니다. 완전5도를 이루는 음정, 도와 솔의 길이를 3과 2로 찾아낸 것인데요. 3과 2를 이용하여 만든 비율로 찾아낸 두 음은 어떤 것이든 화음을 이룬다는 것을 알게 된 피타고라스는 계속해서 조화로운 소리를 찾아냈습니다. 그럼 피타고라스가 제시한 두 가지 수학적 원리를 이용해서 7음계의 줄의 길이를 수로 나타내봅시다. 두 가지 수학적 원리는 다음과 같습니다. 첫 번째, 현악기의 줄을 튕겨서 나오는 소리가 도일 때, 그 줄의 길이를 절반으로 줄여서 튕기면 나오는 소리는 처음 음보다 한 옥타브 높은 도이다. 두 번째, 현악기의 줄을 튕겨서 나오는 소리가 도일 때, 그 줄의 길이를 로 줄여서 튕기면 나오는 소리는 솔이다. 그럼 여러분의 이해를 돕기 위해 피아노 건반을 보며 설명하도록 하겠습니다. 맨 처음 시작하는 도의 음을 나타내는 줄의 길이가 1이라고 가정하겠습니다. 이제 도에서 5음계를 이동하면 솔이고,두 번째 원리에 의하면 솔의 줄의 길이를 나타내는 숫자는 입니다. 이를 통해서 우리는 원래 음보다 다섯 음계가 올라간 음의 줄의 길이는 기존 음의 줄의 길이에 를 곱하면 된다는 것을 알 수 있습니다. 이번엔 솔에서 다섯 음계를 올라가보겠습니다. 그러면 한 옥타브 높은 레가 됩니다. 이 한옥타브 높은 레의 줄의 길이는 솔을 나타내는 줄의 길이 에 다시 를 곱한 값이므로 입니다. 그렇다면 한 옥타브 낮은 레는 어떻게 될까요? 첫 번째 원리는 주어진 음에서 한옥타브 올라가면 그 음을 나타내는 줄의 길이는 처음 음을 나타내는 줄의 길이에 절반이 된다는 것이었습니다. 그렇다면 한옥타브를 내려올 때는 아까와는 반대로 줄의 길이가 2배가 됩니다. 따라서 한 옥타브 높은 레의 줄의 길이는 에 2를 곱하여 이 됩니다. 이런 식으로 다섯음계씩 이동하면서 만들어지는 음계의 순서를 보면 도, 솔, 레, 라, 미, 시, 파, 도의 순서로 음을 나타내는 줄의 길이를 찾을 수 있습니다. 이렇게 피타고라스는 음계를 수로 나타내는 방법을 알리며 “세상 만물의 근원은 수이다”라는 자신의 주장의 근거로 제시하였습니다. 특히 피타고라스는 세상 만물이 두 정수 사이의 비로 표현이 된다고 주장하였는데 이에 대한 강력한 증거로 제시한 것 역시 음악과 음계였다고 합니다. 그런데 이렇게 주어진 원리를 이용하여 계산을 계속하면 다음 주어진 표와 다른 값을 갖는 음을 발견할 수 있습니다. 이 중 어떤 음의 길이가 표와 다른지 여러분이 직접 계산해서 찾아보고 다음 영상을 시청해주세요!
PLAY 온라인 지원터수학교육수학영상 자료실 수학체험활동
