우리나라 서울시 종로구 세종로에 위치한 경복궁은 1394년 태조 이성계가 창궐한 궁궐입니다. 경복궁에는 왕비가 거처하던 곳인 교태전이 있는데 이곳은 아름다운 꽃담으로 둘러싸여 있습니다. 꽃담을 살펴보니 정사각형을 이용한 무늬와 정육각형을 이용한 무늬도 보이네요. 이 아름다운 꽃담처럼 반복적인 도형으로 평면이나 공간을 완전히 채우는 것을 쪽매맞춤이라고 합니다. 이렇게 우리 선조들은 쪽매맞춤을 활용하여 아름다운 꽃담을 지었어요. 어?그런데 뭔가 허전하지 않나요? 정오각형이 없네요. 왜 정오각형을 이용한 무늬는 없을까요? 그 이유를 함께 알아봅시다.
우리는 변의 길이가 모두 같고 모든 각의 크기가 같은 다각형을 정다각형이라고 불러요. 중학교 1학년 때 학습한 내용을 떠올려보면, 정n각형의 한 내각의 크기는 180°와 n-2를 곱한 값을 n으로 나눈 것입니다. 그럼 정사각형의 한 내각의 크기는 90°이고, 정사각형 4 개가 한 점에서 모이면 360°가 되기 때문에 같은 크기의 여러 정사각형으로 빈틈 없이 겹치지 않게 평면을 채울 수 있습니다. 마찬가지로 정육각형의 한 내각의 크기는 120°이고, 정육각형 3개가 한 점에서 모이면 360°가 되기 때문에 같은 크기의 여러 정육각형으로 빈틈 없이 겹치지 않게 평면을 채울 수 있습니다. 교태전의 꽃담에는 없는 무늬이지만, 정삼각형도 살펴보면, 정삼각형의 한 내각의 크기는 60°이고, 정삼각형 6개가 한 점에서 모이면 360°가 되서 같은 크기의 여러 정삼각형으로 빈틈 없이 겹치지 않게 평면을 채울 수 있습니다. 그런데! 정오각형은 어떨까요? 정오각형의 한 내각의 크기는 108°이므로, 정오각형 세 개가 한 점에서 모이면 324°입니다. 360°가 되려면 36°가 더 필요한데, 그렇다고 정오각형을 하나 더 추가하면 겹치게 됩니다. 따라서 정다각형 중에서 같은 크기를 가진 여러 조각으로 평면 또는 공간을 완전히 채울 수 있는 것은 정삼각형, 정사각형, 정육각형 세 가지입니다. 이제 경복궁의 교태전에 있는 아름다운 꽃담에 정오각형 무늬가 없는 이유를 확실하게 알았죠?
앞에서 꽃담을 살펴보면서 이야기했던 쪽매맞춤, 기억하죠? 이와 같은 말이 바로 테셀레이션입니다. 테셀레이션은 같은 모양의 조각들을 서로 겹치지 않고 틈이 생기지 않게 맞추어 평면이나 공간을 덮는 것을 말합니다. 테셀레이션 무늬는 일상생활에서도 찾아볼 수 있는데요, 우리가 쉽게 볼 수 있는 예로는 보도블럭, 담벼락 무늬, 장식품 문양 등이 있습니다. 방금 본 것처럼, 정다각형 외에도 다양한 테셀레이션 모양이 존재합니다. 수학체험실에는 돌고래, 도마뱀 등 다양한 조각들이 있는데요, 저는 돌고래와 도마뱀 모양의 조각을 빈틈없이 겹치지 않도록 붙여보겠습니다. 자, 그럼 이제부터 여러분도 다양한 모양의 조각들로 테셀레이션을 완성해보세요!
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