이번 시간에는 자연수의 합을다양한 규칙을 가지고 쉽고 재미있게 증명해 보도록 하겠습니다. 수학 이래서 단어 시그마 기호를 배우고 여러 가지 수열의 합, 자연수의 합, 자연수 제곱의 합, 자연수 세제곱의 합을 식으로 유도하고 그 결과를 실전문제에서 활용하기 위해서 암기를 했습니다.

식을 한 번 더 살펴보면 자연수의 합은 (n(n+1))/2, 제곱의 합은 (n(n+1)(2n+1))/6 세제곱의 합은 {(n(n+1))/2}² 교과서에서 주어진 식을 어떻게 유도했었는지 기억하시나요?

자연수의 합은 앞 단원에서 등차수열을 배웠을 때 첫째항이 1이고 공차가 1인 등차수열의 첫째항으로부터 제 n항까지의 등차수열의 합 공식을 이용하여 (n(n+1))/2를 유도했습니다.

자연수 제곱의 합은 어떻게 유도 했는지 기억하나요? 1학년 때 배운 곱셈 공식을 이용하여 다음과 같이 식을 정리했어요. 자연수 세제곱의 합도 같은 방법으로 증명했습니다. 제곱의 합이나 세제곱의 합은 그 과정이 복잡하지만 다른 문제 유형의 풀이 전략으로 쓰이기 때문에 그 과정을 살펴보고 이해할 필요가 있습니다.

자연수의 합, 자연수의 합을 구하는 과정은 많이 알려져 있어서 여러분이 한 번쯤은 보셨을 겁니다. 왼쪽 도형은 1부터 n까지의 자연수의 합이 두 번 더해졌고 오른쪽 도형은 두 도형의 합친 도형 가로가 한 개 더 많죠. n+1, 세로는 n, (n+1) * n개 색칠된 도형을 단위로 세고 있습니다. 이를 정리하면 왼쪽에 두 번 더해진 값을 오른쪽 2로 나누어주면 우리가 알고 있는 자연수의 합 1부터 n까지의 합 (n(n+1))/2을 유도할 수 있습니다.

자연수의 합을 나타낼 수 있는 방법은 여러 가지가 있습니다. 한 가지만 더 소개해 보겠습니다. 이번에는 자연수의 합을 넓이로 접근해 볼게요. 우리가 사각형 한 칸의 넓이를 1이라고 했을 때 왼쪽에 색칠된 도형의 넓이는 1부터 6까지 자연수의 합입니다. 오른쪽 도형 색칠된 도형을 이렇게 볼게요. 대각선을 기준으로 큰 직각 삼각형의 넓이와 작은 직각삼각형 모두 몇 개이죠 여섯 개의 넓이의 합으로 나타내 볼게요. 큰 직각삼각형의 넓이는 가로 6 * 세로 6 그리고 삼각형의 넓이니까 1/2 그리고 작은 삼각형의 넓이는 하나의 사각형의 넓이가 왼쪽에서 1로 잡았기 때문에 작은 직각 삼각형의 넓이는 1/2이 되고 그 삼각형의 여섯 개가 있죠. 계산을 하는 게 목적이 아니라 식의 모양 우리가 일반화를 해야 하기 때문에 어떻게 계산이 되었는지 그 과정을 식으로 표현해 주고 있습니다. 2분의 가로 곱하기 세로 6², 2분의 6이 부분도 다시 일반화를 시키면 좌변 1부터 n까지 자연수의 합은 큰 삼각형의 넓이 n²/2, 작은 삼각형의 넓이 1/2 * n 앞서 확인했듯이 (n(n+1))/2 자연수의 합을 구하는 식과 일치한다는 것을 알 수 있습니다. 이제 조금 더 다양한 규칙을 가지고 자연수들의 합을 살펴보겠습니다.

홀수의 합, 홀수의 합은 교과서에서 등차수열의 합으로 n², 첫째항이 1이고 공차가 2인 등차수열의 합으로 식을 구했습니다. 또는 시그마 기호를 이용해서 앞에서 배운 자연수의 합 (n(n+1))/2을 가지고 식을 구하기도 했어요. 그렇다면 도형을 이용해서 증명하는 방법 어떤 방법이 있을까요.

그림을 살펴보겠습니다. 왼쪽에 있는 그림은 빨간색으로 색칠된 도형이 한 칸입니다. 오른쪽 그림을 빨간색 도형이 한 칸 주황색 도형이 세 칸 그래서 두 번째 그림이 나타내는 건 1+3 전체 도형의 색칠된 도형의 개수는 2 * 2 = 2² 어떤 규칙 인지 보이시나요. 그럼 다음 그림을 한번 볼게요. 여러분이 보는 화면에서 세 번째 그림은 빨간색이 1, 주황색이 3, 노란색이 5, 1부터 5까지 홀수들의 합을 이렇게 모양을 색칠된 모양을 3 * 3 = 3²으로 나타냈습니다. 네 번째 도형은 빨간색, 주황색, 노란색, 초록색 1+3+5+7=3*3=3²입니다. 홀수들의 합을 그림과 같이 규칙을 가지고 배열을 하면 자연수의 제곱으로 나타낼 수 있음을 보여주는 겁니다.

이 규칙을 가지고 마지막 그림으로 일반화를 한번 시켜 봅시다. 앞에서 설명했듯이 왼쪽 도형이 의미하는 것은 1+3+5+7+9=5*5=5² 이를 일반화하면 1부터 (2n-1)까지 홀수들의 합 모두 개수가 몇 개죠? n개입니다. n개의 홀수들의 합은 앞에서 5개 홀수의 합 5²인 것처럼 n개의 홀수들의 합이 n² 앞에서 등차수열의 합이나 시그마 자연수의 합으로 나타낸 식과 일치함을 알 수 있습니다.

자연수 제곱의 합, 자연수 제곱의 합은 앞서 배운 홀수의 합을 이용해 정리할 수 있습니다. 그림을 보시면 색칠된 칸에 수가 1², 2², 3², 4² 각각의 자연수의 제곱은 홀수들의 합으로 표현할 수 있습니다. 이 전체 색칠된 4개의 도형을 하나로 나타내 보면 오른쪽 그림과 같이 빨간색 도형은 한 칸씩 4줄 주황색 도형은 세 칸씩 3줄, 노란색 도형은 다섯 칸식 2줄 초록색은 일곱 칸 1줄입니다. 오른쪽 도형 색칠된 도형은 결과적으로 1² + 2² + 3² + 4² 자연수 제곱의 합입니다.

이 그림을 다시 한번 살펴 보면 왼쪽, 오른쪽 색칠 되지 않은 도형을 살펴볼게요. 왼쪽 빈 칸을 보라색으로 색칠했습니다. 연한 보라색과 조금 더 진한 보라색을 살펴보면 1² + 2² + 3² + 4² 왼쪽 보라색과 오른쪽 보라색에도 자연수 제곱의 합이 나타납니다. 결과적으로 전체 색칠된 도형은 자연수 제곱의 합 1부터 4까지 그 갯수가 모두 세 번 있습니다.

다음 그림에서 한 번 더 정리를 해 보면 우리가 구한 자연수의 제곱의 합 1부터 4까지 3번 나온다. 어떻게 볼 수 있냐면 전체 도형, 사각형으로 접근한다면 가로에 몇 칸이죠. 색칠된 초록색의 양쪽으로 두 칸 더, 7+2 그리고 세로는 1, 2, 3, 4 실제로 여기를 9 곱하기 10으로 해도 되지만 9라는 수가 어떻게 나왔는지 그리고 10이라는 수가 어떻게 나왔는지 과정으로 식을 써주는 것입니다. 정리해보면 오른쪽 그림에서 가로의 칸 수는 네 번째 홀수 + 2, 다섯 번째 홀수라는 하는 얘기죠. 세로의 칸 수는 1부터 4까지 자연수의 합입니다. 1의 제곱은 n의 제곱까지 자연수 제곱의 합은 전체 세 번 나타났다 곱하기 3, 가로는 n번 째 홀수 +2, (n+1)번 째 홀수 그리고 세로의 개수는 1부터 까지 자연수의 합 자연수 제곱의 합을 , 자연수의 합 그리고 양변을 3으로 나눈 수 우리가 교과서에서 정리한 식 (n(n+1)(2n+1))/6이 나온다는 것을 확인할 수 있습니다.

자연수 제곱의 합을 다른 방법으로 살펴볼 수 있습니다. 자연수 제곱을 홀수들의 합으로 먼저 표현하고 오른쪽 그림과 같이 삼각형 배열로 나타납니다. 그리고 방금 한 배열을 시계방향으로 돌려서 두 번 더 배열합니다. 배열 순서를 화살표로 나타내 볼게요. 첫 번째 그림에서, 두 번째 그림에서는 시계방향으로 돌려서 배열을 하니까 세 번째 그림에서 어떻게 변하는지 이해가 됐나요. 그러면 지금 첫 번째 그림, 두 번째 그림, 세 번째 그림 모두 다 자연수 제곱의 합입니다. 그런데 세 그림의 각각 같은 위치에 놓인 수를 더하면 7이 나타나 이 그림은 결과적으로 첫 번째, 두 번째, 세 번째 모두 다 1² + 2² + 3²을 나타내는 데 그 값이 3번 3개를 더했다는 뜻이죠. 오른쪽에서는 7이 몇 번 더해졌나요. 한 개, 두 개, 세 개. 즉 7 * (1 + 2 + 3)
이를 일반화시켜 보겠습니다. 각각 자연수 제곱의 합을 3번 시계 방향으로 돌려서 더해주면 n번째 홀수 다음 (n+1)번째 홀수 즉 (2n+1)이 나타납니다. 몇 번 줄 단위로 1번, 2번, 3번, …, n번 홀수 곱하기 1부터 n까지 자연수의 합이죠. 그래서 정리해주면 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

자연수 세 제곱의 합, 이제 세 번째 주제이기 때문에 여러분이 더 쉽게 정리할 수 있을 거예요. 세 제곱의 합을 오른쪽 그림과 같이 표현했습니다. 오른쪽 그림을 살펴보고 세제곱의 합을 어떻게 나타내야 할지 고민해 보세요.

첫 번째 그림은 1의 세제곱을 1² * 1으로 표현한 그림입니다. 두 번째는 주황색이 더 칠해졌죠. 더 칠해진 칸의 수를 세어보면 2²
세 번째 그림은 노란색이 양쪽으로 더 칠해졌는데 그 칸에 수가 2²이죠. 그래서 세 번째 그림은 빨간색 1² * 1 주황색과 노란색, 이 주황색 하나, 노란색 하나 두개 세 번째 그림은 앞에 주황색까지 칠한 도형에 3², 9칸이 초록색으로 더 칠해졌습니다. 그리고 양쪽으로 파란색 3²이 식으로 표현하면 빨간색 1² * 1, 주황색과 노란색 2² * 2 초록색과 파란색 3² * 3 규칙 보셨나요. 1² * 1빨간색 , 2² * 2주황색과 노란색 3² * 3 초록색과 파란색, 4² * 4 남색 보라색과 양쪽 연보라색을 더 하면 4²이 하나 더 더해지죠. 전체의 칸의 수는 바로 빨간색부터 연보라색까지 가로 1, 2, 3, 4, 세로 빨간색, 노란색, 파란색, 연보라색 1부터 4까지 자연수의 합이 두 번 곱해졌죠. 이 식을 일반화하면 세제곱에 합은 자연수의 합에 전체 제곱 우리가 정리한 식 {(n(n+1)/2)}² 입니다. 여러분이 식의 결과를 외워 계산하는 것보다 그 식을 유도하는 과정 그리고 다른 방법으로 증명하는 과정을 관심 있게 살펴본다면 수학이 조금 더 재미있을 수 있습니다.

오늘의 수학자 아인슈타인 나는 똑똑한 것이 아니라 단지 문제를 더 오래 연구할 뿐이다.
선생님은 여러분이 수학을 고민하고 그 고민하는 시간 동안 즐거움을 찾을 수 있었으면 좋겠습니다. 이상입니다.