<오프닝> 안녕하세요 6학년 친구들. 만나서 반갑습니다. 선생님은 수학 교과서의 단원별 ‘얼마나 알고 있나요’ 부분을 함께 공부할 김현섭 선생님입니다. 각 단원에서 중요한 내용을 함께 복습해보도록 해요. 그리고 풀이를 하기 전에 여러분이 직접 문제를 풀어보고 참여해주세요. 그럼 오늘의 공부를 시작하러 출발해볼까요? <1번 문제> [1-1] 1번 문제입니다. 나눗셈을 그림으로 나타내고 몫을 구해보세요. 1 나누기 5네요. 1을 5로 나누라고 하였으니 5등분을 해줘야겠어요. 그 중에 하나. 이만큼이 되겠어요. 이것을 분수로 나타내어야 된다고 한다면 다섯 개의 조각 중에 한 개이므로 5분의 1이 되겠어요. [1-2] 다음 문제는 3 나누기 4입니다. 3 나누기 4는 3을 4로 나누어야 하는데요, 3 전체를 놓고 4로 나누기 어려우므로 각 1을 4등분을 해줍니다. 자 그 중에 하나씩 하나씩이 되겠죠. 이렇게 되어주면 1/4 조각이 하나, 둘, 세 개가 있는 것이므로 그 몫은 3/4이라고 할 수 있어요. 이렇게 자연수 나누기 자연수의 몫을 분수로 나타낼 수 있답니다. 우리 함께 관련 개념을 정리해보고 올까요? 생각이 반짝! <생각이 반짝> 네, 선생님과 함께 자연수 나누기 자연수의 계산 방법을 정리해보도록 해요. 예시 문제를 보면 1 나누기 5이므로 도형을 다섯 등분을 해줍니다. 그 중에 하나이므로 1/5 이라고 할 수가 있죠. 그리고 3 나누기 7은 전체 3을 7등분 해주기 어려우므로 각 1을 7등분을 해주어요. 7 등분을 한 것 중에 1개. 또 7등분을 하고 그 중에 한 개. 또 7등분을 하고 그 중에 한 개. 이렇게 1/7조각이 하나, 둘, 세 개가 있으므로 전체는 3/7이라고 할 수가 있습니다. 즉 정리를 해보면 자연수 나누기 자연수는 나누는 수를 분모로, 나누어지는 수를 분자로 하여 그 몫을 나타낼 수가 있답니다. 손가락으로 돌려서 이렇게 모양을 바꿔준다고 생각을 하면 훨씬 빨리 풀 수가 있겠죠. <2번 문제> 2번 문제입니다. 그림을 보고 1/4 나누기 3을 곱셈으로 나타내어 계산해 보세요. 1/4을 나누기 3 해주기 위하여 1/4 그림에 가로줄 두 개를 그어 3등분을 해주었어요. 여기서 나누기 3이라는 말을 바꾸어 말해본다면 세 등분 중의 하나이므로 1/3이라고도 할 수 있습니다. 즉 식으로 정리해본다면 1/4 나누기 3이 1/4 곱하기 1/3이 되는거죠. 계산을 하면 분모끼리 곱해서 12, 분자끼리 곱해서 1. 1/12이라고 할 수 있습니다. 그림으로 살펴보아도 방금 빗금 친 이 부분이 열두 개 중에 하나이므로 1/12이 맞다는 걸 확인할 수 있어요. <3번 문제> 3번 문제입니다. 계산해보세요. 3번 문제도 분수 나누기 자연수를 계산하는 연산 문제입니다. 우리 수학 교과서에서는 분수 나누기 자연수를 두 가지 방법으로 설명해주었어요. 함께 원리를 이해해보며 계산 방법을 익혀보도록 합시다. 생각이 반짝! <생각이 반짝> 선생님이 준비한 예시 문제를 살펴볼게요. 3/4 나누기 2의 몫을 구하세요. 자 그림으로 나타내면 이렇게 되겠어요. 3/4을 나누기 2 해주기 위해서 반으로 갈라 2등분을 해주고 즉 전체 6/8이 되었을 때에 그 중의 하나이므로 3/8만큼이 된다는 걸 알 수가 있습니다. 풀이과정을 정리해보면 분자에서 나누기 2를 해주기 위해 분자 3을 2배수로 만들어 주어야 해요. 그러므로 분모에도 2를 곱하고 분자에도 2를 곱하여 계산을 해주어야 하는데요, 즉 6/8이라고 했을 때에 나누기 2를 분자로 올려 나눗셈을 해주면은 3/8이 된다는 걸 알 수 있어요. 이렇게 정리를 해볼 수가 있구요. 즉, 분수 나누기 자연수의 첫 번째 방법을 정리해본다면 이렇게 정리해볼 수가 있겠습니다. 다음 예시입니다. 2/3 나누기 4의 몫을 구하세요. 그림으로 나타내면 다음과 같은 그림이 되겠어요. 전체 2/3를 나누기 4 하기 위하여 네 등분을 해주었고, 그 중에 한 조각만큼의 부분인 여기가 해당되게 되겠죠. 이 부분의 크기는 얼마일까요? 전체 12개 중에 2개의 조각이니까 2/12 또는 1/6이라고 할 수가 있겠습니다. 그럼 식으로 한번 풀어보도록 할까요? 자, 2/3 하고 나누기 4를 계산해주어야 하는데요, 이때 나누기 4라고 하면 전체의 4개 중에 하나인 1/4를 의미하기도 해요. 즉 곱하기 1/4이라고 할 수가 있습니다. 계산을 해주면 약분을 해주고, 분모분모 분자분자 곱해주면 1/6이 된다고 풀 수가 있겠어요. 즉 분수 나누기 자연수의 두 번째 방법을 정리한다면 이렇게 ‘나누기 자연수’를 ‘곱하기 1/자연수’로 바꾸어 계산할 수 있다고 정리할 수 있습니다. <3번 문제> 그럼 우리 3번 문제로 돌아와서 문제를 풀어보도록 할까요? 먼저 분수 나누기 자연수의 방법을 활용하여 계산해보도록 합시다. 2 나누기 7입니다. 우리 이것을 어떻게 하기로 했었죠? 네, 나누는 수가 분모로, 나누어지는 수가 분자로 하여 분수로 몫을 나타낼 수 있다고 하였어요. 그리므로 2/7가 되겠구요. 5/6 나누기 8을 계산해보도록 할까요? 5/6. 나누기 8은 곱하기 1/8로 바꾸어줄 수 있다고 하였습니다. 나머지를 계산하면 5/48이 되겠어요. 다음 3번 문제입니다. 14/9. 나누기 4를 곱하기 1/4로 바꾸어주어서. 약분이 되네요. 분모는 9 2는 18, 분자는 7. 7/18이 되었네요. 그리고 4번 문제를 보니, 대분수가 나와있어요. 그래서 가장 먼저 해주어야 할 일은 이 대분수를 가분수로 바꾸어주어야 하는데, 1과 3/7은 10/7이죠. 그런 다음 나누기 5를 곱하기 1/5로 바꾸어주면, 약분이 되네요. 5로 약분을 해주고. 2/7이 된다는 것을 확인할 수가 있습니다. <4번 문제> 4번 문제입니다. 리본 3m를 5명이서 똑같이 나누어 가졌습니다. 한 명이 가진 리본은 몇 m 인지 구해보세요. 자, 3m의 리본을 5명이서 나누어 가진 것이므로, 나누기 연산을 사용하여 식을 세워야합니다. 즉 3m를 5명이서 나누어 갖는다. 3 나누기 5라고 할 수 있겠죠. 자연수 나누기 자연수는 그 몫을 어떻게 나타내나요? 맞아요, 바로 분수로 나타낼 수 있다고 하였습니다. 나누는 수를 분모로, 나누어지는 수가 분자로. 즉, 3/5m라고 할 수가 있겠죠. <5번 문제> 5번 문제입니다. 가로가 5cm이고 넓이가 25/2㎠인 직사각형의 세로의 길이를 구해 보세요. 자, 직사각형의 넓이와 가로의 길이를 이용하여 직사각형의 세로의 길이를 구해야하는 문제입니다. 직사각형의 넓이는 가로 곱하기 세로이므로 세로의 길이는 직사각형의 넓이에서 가로의 길이를 나누어주어 계산을 할 수가 있어요. 즉, 식을 세워본다면 넓이인 25/2에서 가로의 길이인 5를 나누어 주는 이러한 식이 되겠습니다. 그럼 계산을 해볼까요? 자 25/2. 나누기 5를 곱하기 1/5로 나타낼 수가 있고, 바로 계산을 해줘도 좋지만 선생님은 약분을 해볼거예요. 5로 나누고, 즉 5/2가 된다는 것을 알 수가 있습니다. 그러면 정답은 5/2cm라고 적어도 되지만 대분수로 바꿔주어서 2와 1/2 cm라고 이렇게 정리할 수가 있겠어요. <6번 문제> 6번 문제입니다. 무게가 똑같은 사과 6개가 놓여 있는 이 쟁반의 전체 무게가 2와 1/5kg입니다. 빈 쟁반이 2/5kg이라면 사과 한 개는 몇 kg인지 풀이과정을 쓰고 답을 구해보세요라는 문제이네요. 그럼 사과 한 개의 무게를 구하려면 어떻게 구해야할까요? 네, 바로 전체의 무게에서 일단 이 쟁반의 무게를 빼주어야겠어요. 그러면 사과 6개의 무게가 나올테니 거기에서? 맞아요, 나누기 6을 해주면 되겠죠? 식으로 한번 나타내어 볼까요? 먼저 전체의 무게인 2와 1/5에서 쟁반의 무게인 2/5kg을 빼주겠어요. 자, 가장 먼저 대분수가 있으니 가분수로 나타내어주면은 11/5 빼기 2/5가 되구요, 그러면 ‘9/5kg이구나.’를 알 수가 있습니다. 답이 5/9는 아니죠. 이 9/5는 사과 6개의 무게이므로, 9/5를 나누기 6 해주어야겠습니다. 즉, 9/5 나누기 6에서 나누기 6을 우리가 곱하기 1/6로 계산을 하기로 했어요. 자, 대각선끼리 약분이 되는게 여기 하나 있네요. 3으로 나누어 주고. 즉 5 2 10, 3 1은 3. 3/10이 나왔습니다. 즉 사과 한 개의 무게는 3/10kg입니다. <생각이 반짝> 오늘의 마지막 순서로 여러분과 분수의 나눗셈 원리를 탐구해보려고 해요. 우리가 분수 나누기 자연수를 계산하는 방법으로 가장 간편하게 ‘나누기 자연수’를 ‘곱하기 1/자연수’로 바꿀 수 있게 되었어요. 그렇다면 여러분 선생님이 질문을 한가지 해보려고 합니다. 우리 함께 고민하고 수학적인 용어로 그 설명을 해보도록 합시다. 이번 문제에서처럼 1/4 나누기 3을 1/4 곱하기 1/3으로 바꾸어 계산을 해보았었는데요, 이에 대해 왜 이렇게 바꿀 수 있는지 좀 더 생각해보고 넘어가도록 해요. 음 우선 가장 간편하게 생각해볼 수 있는 이유로는 나누기 3이므로 나누기 3. 3으로 등분한다. 3등분 중에 하나. 즉 1/3. 이렇게 1/3을 떠올릴 수가 있어요. 하지만 ‘곱하기 1/3인 것을 보다 분명하게 설명해보고 싶어요’ 하는 친구들은 그림 속 빗금 친 이 부분의 넓이를 생각해보면 된답니다. 즉 문제의 연산을 그림으로 나타내면 이 빗금 친 부분의 크기인 넓이를 구해보자는 거죠. 직사각형의 넓이는 가로의 길이에 세로의 길이를 곱해주는 거죠. 가로의 길이가 4등분 한 것 중에 하나이니까 1/4. 그리고 세로의 길이가 3등분 한 것 중에 하나이니까 1/3이라고 할 수가 있습니다. 그러니 그 넓이는 가로의 1/4, 세로의 길이 1/3을 곱해주면 되는 거죠. 그렇기 때문에 “1/4 나누기 3은 1/4 곱하기 1/3입니다.”라고 설명할 수가 있겠습니다. 연산의 방법을 공식화하여 능숙하게 풀어내는 것도 훌륭하지만, 지금처럼 ‘왜 그럴까?’하고 고민하고 그 원리를 설명해보는 지금 이 과정도 참 중요하다는 것을 여러분 이미 충분히 알고 있죠? <정리> 우리 친구들. 오늘은 6학년 1학기의 1단원인 분수의 나눗셈을 함께 공부해 보았습니다. 나누기 자연수를 곱하기 분수로 바꾸어 계산한다는 포인트를 잊지 말아주세요. 그럼 우리 2단원인 각기둥과 각뿔에서 다시 만나도록 해요. 안녕!
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