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입체도형의 숨겨진 비밀 게시글 상세정보
입체도형의 숨겨진 비밀
작성자 융합인재부 이메일
조회 141 등록일 2023/11/23
첨부 입체도형부피의 숨겨진 비밀.MOV 입체도형부피의 숨겨진 비밀.MOV
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입체도형부피의 숨겨진 비밀
영상목차에 대해 알려드립니다. 입체도형의 두 가지 성질에 대해 살펴보려합니다. 먼저 아르키메데스의 부피가 무엇인지 실험으로 먼저 확인하고 식으로 직접 유도해볼 것입니다. 두 번째로 카발리에리의 원리에 대해 살펴보고 실험으로 확인하고 평면 그래프로 확인해볼 것입니다.
아르키메데스의 부피는 무엇일까?
아르키메데서는 원뿔과 구, ,원기둥의 부피가 1:2:3의 비율을 가진다는 것을 발견하였습니다. 진짜 성립할까요? 정말 성립하는지 실험으로 알아봅시다. 실험을 간단히 설명하겠습니다. 원뿔과 반구모형 두 개, 원기둥 모형의 물을 담을 수 있는 용기를 준비합니다. 각각은 1:2:3의 부피비를 갖는 것을 보이고 싶습니다. 간단히 말하면 원뿔의 물과 반구의 물이 일치한다는 것을 먼저 보이고 두 번째로 원뿔과 두 반구의 물을 합치면 원기둥의 전체 물이 되는 것을 보이겠습니다. 용기가 서로 물이 잘빠지지 않아서 직각기둥 용기를 활용하겠습니다.
반구의 물을 원뿔에 채워 두 부피가 같은지 확인해보겠습니다. 직육면체 모양의 용기를 활용하여 물을 이동시키려 합니다. 반구의 물을 원뿔에 넣고 있습니다. 정확하게 원뿔을 가득 채웠네요! 반구와 원뿔은 부피가 같네요! 즉 원뿔과 구는 1대 2의 비율입니다. 이제 원뿔의 물을 직육면체 용기를 활용해 원기둥에 넣으려 합니다. 원뿔에 있던 물이 모두 채워지면 원기둥의 3분의 1만큼 채워지겠죠? 이제 또다른 반구의 물을 원기둥에 넣을 것입니다. 그러면 기둥은 3분의 2만큼 채워지겠죠? 남은 3분의 1은 원뿔의 물로 채우려 합니다. 만약 다 채워진다면 아르키메데스의 부피 비율이 성립하는거에요! 원뿔에서 덜어낸 물을 채워넣고 있습니다. 정확하게 원기둥에 물이 채워졌네요! 눈으로 확인 완료!
식으로 직접 구해봅시다. 원뿔, 원기둥의 밑면의 반지름과 구의 반지름은 모두 r로 일치하며 지름은 2r입니다. 원뿔, 구, 원기둥의 높이 또한 모두 2r로 같습니다. 주어진 정보를 통해 각각의 부피를 구할 수 있습니다. 원뿔의 부피를 구할 때에는 밑면의 넓이에 높이 2r을 곱하고 3으로 나눠줍니다. 구의부피공식은 입니다. 원기둥의 부피는 밑면의 원의 넓이에 높이 2r을 곱해줍니다. 각각의 부피비를 비교해봐야겠죠? 공통인수인 을 먼저 약분해줍니다. 공통인수인 도 함께 약분해줍니다. 그리고 모두 3씩 곱해줍니다. 그러면 비율이 2:4:6이니 약분하면 1:2:3이 되겠죠?
이제 카발리에리의 원리에 대해 알아봅시다. 카발리에리의 원리는 무엇일까요? 카발리에리의 원리는 예상하셨겠지만 이탈리아 수학자 카발리에리가 발견한 원리입니다. 이차원에서는 단면의 길이가 같으면 그 도형의 넓이는 변하지 않는다는 성질을 가집니다. 아래의 정사각형과 평행사변형은 수평에 평행한 선을 그었을 때 선분의 길이가 모두 항상 같으므로 넓이도 같다는 주장입니다. 실제로 밑변의 길이와 높이의 길이가 같기 때문에 넓이가 같겠죠?
3차원에서는 단면의 넓이가 같으면 그 도형의 부피는 변하지 않는다는 성질을 가집니다. 쉽게 말하면 오른쪽 그림처럼 동전이 여러 개 쌓여있다고 생각해 보세요. 왼쪽은 동전이 삐뚤게 쌓여있고 오른쪽은 반듯하게 쌓여있죠? 두 입체도형의 부피는 어떤 관계가 있을까요? 예상하셨겠지만 같습니다. 그렇다면 진짜 성립할까요? 정말 성립하는지 실험을 통해 알아봅시다.
실험을 간단히 설명하겠습니다. 왼쪽 그림은 밑면이 정사각형이고 높이가 같은 입체도형입니다. 편백나무를 직접 넣어 부피가 같음을 확인하겠습니다. 오른쪽 그림은 밑면이 정삼각형이고 높이가 같은 입체도형입니다. 마찬가지로 편백나무를 넣어 부피가 같음을 확인하겠습니다.
먼저 밑면의 한 번의 길이가 같은 정사각형이고 높이가 같은 두 입체도형의 부피를 비교해보겠습니다. 직육면체에 편백나무를 가득 채워보겠습니다. 이제 높이가 같은 입체도형에 옮겨 담아보겠습니다. 가득 채워질까요? 편백나무조각 사이에 틈이 있어 넣으면서 흔들어보았습니다. 가득채워지는 것을 보니 두 부피는 같네요. 이번엔 밑면이 합동인 정삼각형이고 높이가 같은 두 입체도형을 준비했습니다. 마찬가지로 부피가 같을까요? 같은 방법으로 편백나무조각을 가득 채워넣고 다른 입체도형에 옮겨보려 합니다. 편백나무 조각 사이 공간을 좁히기 위해 덜으면서 흔들어 주었습니다. 옮기는 과정에서 몇 개 조각이 흘러 정확히 같지는 않지만 거의 유사한 것을 확인할 수 있었습니다. 카발리에리의 원리 눈으로 확인 완료!
식으로 직접 구해봅시다. 구체적인 그래프 예시를 탐구해봅시다. 영역에서 과 축이 이루는 영역의 면적은 무엇일까요? 예상하셨겠지만 정답은 1입니다. 한 변의 길이가 1인 정사각형의 넓이는 1이라는 점에서 바로 생각한 친구들이 많죠? 혹시 고등학교 수학Ⅱ까지 배운 학생들은 적분과 관련하여 생각한 학생들도 있을까요? 그렇다면 아마 인테그럴 기호를 활용하여 나타낸 식을 생각해냈을 수도 있겠네요. 이번에는 범위에서 과 그래프 사이의 영역은 어떻게 구할 수 있을까요? 예상하신대로 1입니다. 많은 친구들이 평행사변형을 떠올리면서 밑변곱하기 높이가 1이라서 넓이를 1이라고 생각했을텐데요. 혹시 이번에도 적분과 관련하여 식을 구한 학생도 있을까요? 식은 이렇게 표기할 수 있겠습니다. 아까 본 정사각형과 이 평행사변형은 세로의 길이가 1로 계속 같다는 특징이 있고 결국 넓이가 같아 카발리에리의 원리가 적용됩니다. 너무 당연하다구요? 그렇다면 이번에는 범위에서 과 과 둘러싸인 넓이는 어떻게 구할 수 있을까요? 아마 1일 것 같지만 앞의 두 경우처럼 넓이를 쉽게 구할 수 있는 기본도형을 떠올리기 쉽지 않죠? 이번의 경우에는 어쩔 수 없이 적분의 기호를 사용하여 넓이를 구할 수 있습니다. 식을 써보면 다음과 같고 결국 1이 됨을 확인할 수 있습니다. 모양이 조금 다르게 생겼지만 수직으로 선을 그었을 때 길이가 계속 1이기 때문에 앞의 도형과 넓이와 같다는 것으로 역시 카발리에리의 원리가 적용된 것을 그래프와 식으로 직접 확인했습니다. 여러분도 여러분만의 예시를 만들어 직접 확인해보시면 더욱 재미있을거에요.
수학체험센터에서 아르키메데스의 부피비와 카발리에리의 원리를 체험할 수 있는 곳을 같이 찾아가봅시다.
아르키메데스의 부피비를 직접 유도해봅시다. 카발리에리의 원리가 적용된 도형의 넓이를 직접 구해봅시다. 감사합니다.
 
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