• 번째 이야기: 바빌로니아 점토판 7289

수치해석이란 수학 문제에서 수치적인 근삿값을 구하는 알고리즘을 연구하는 학문입니다.
가장 오래된 수치해석에 대한 수학적 기술은 바빌로니아 사람들이 점토판에 육십진법으로 단위길이 사각형의 대각선의 길이인 '루트2'의 수치적 근사값을 구해놓은 것인데요,  삼각형의 한 변의 길이를 구하는 문제(제곱근의 값을 구하는 문제)는 토목과 건축등 여러 분야에서 매우 중요한 의미를 갖지요. 
수치해석은 실생활에서 널리 사용되는데, 바빌로니아 사람들이 루트 2의 근사값을 구한 예에서 볼 수 있듯이 현대의 수치해석 역시 정확한 해를 구하지는 않아요. 왜냐하면 정확한 해를 구하는 것이 실제로는 불가능한 경우가 많기 때문이지요. 그대신 대다수의 경우, 수치해석에서는 합리적인 수준의 오차를 갖는 근사값을 구하는 것에 집중한답니다.
 

• 번째 이야기: 탈레스

탈레스(BC624?~547?)는 오늘날 수학의 기초를 세운 수학자요, 서양 철학의 아버지로 불립니다. 그는 현상의 단순화를 통해 자연을 분석하고, 자연 그 자체로부터 현상의 원인을 탐구하고자 하였지요.
 
- 탈레스 이야기 - 
 BC570년경 탈레스의 명성이 이웃나라 이집트에도 알려지면서 이집트 왕이 피라미드의 높이를  구해줄 것을 명령하였습니다.  탈레스는 태양의 움직임으로 생기는 그림자의 길이가 시간마다 달라진다는 사실을 알아내고, 자신의 그림자의 길이가 자신의 키와 같을 때, 피라미드의 그림자 또한 피라미드의 높이와 같을 것이라고 추측하여 높이를 쉽게 측정하는데 성공했지요. 
직접 피라미드에 올라가서 높이를 측정하는 어려움을 겪는 대신, 수학적인 지혜를 활용하여 매우 쉽고 간편하게 피라미드의 높이를 잰 것입니다.
 

• 번째 이야기: 피타고라스와 히파수스

그리스의 철학자이면서 수학자인 피타고라스는 당대 그리스의 영적 지주로 추앙받아 신에 가까운 존재로 여겨졌습니다. '만물은 수로 되어 있다. 우주 만물은 정수의 비로 표현할 수 있다'는 것이 피타고라스학파를 지탱하는 철학이었습니다.  하지만 이는 오직 정수의 비만 존재한다고 보는 잘못된 사고방식이었지요.
 
- 피타고라스학파와 히파수스 - 
 피타고라스학파의 일원이던 히파수스는 "직각삼각형에서 짧은 두 변의 길이가 각각 1일 때 , 빗변의 길이는 제곱하여 2가 되는 수, 즉 '루트2'이라는 것을 보여 무리수의 존재를 밝혔습니다. 
자신들의 믿음에 반하는 사실에 충격을 받은 피타고라스 학파는 진실을 은폐하려 했지만, 히파수스는 무리수의 존재를 발설하려 했지요. 이에 분개한 피타고라스의 제자들은 히파수스를 익사시키고 말았습니다. 이로써 무리수의 존재는 오랫동안 세상에 알려지지 못했고 피타고라스학파는 씻을 수 없는 오점을 남겼습니다.
 

• 번째 이야기: 제논

고대 그리스의 수학자 제논(BC490?~425?)은 여러 가지 역설을 제시하여 사람들을 당황하게 하였습니다. 
제논의 역설 중 하나인 ‘아킬레스와 거북의 경주’를 살펴봅시다.
 
- 제논의 역설: 아킬레스와 거북의 경주 - 
제논은 아킬레스와 거북이 사이의 거리가 100m이고 아킬레스는 1분에 100m, 거북이는 10m를 움직인다고 가정했을 때, 아킬레스가 100m를 지나 거북이의 처음 위치에 도달하면 거북이는 110m지점에 도달하고, 또 10m를 달려가면 111m에 있게 되는데, 이 과정이 무한히 반복되어 결국 거북이가 영원히 앞서나가게 된다고 주장했습니다.
사실인 듯하기도 하고, 아닌 듯하기도 한 제논의 역설은 오랫동안 수학자들을 괴롭히며 무한에 대한 공포를 불러일으키기까지 했습니다. 그러다가 1800년대 후반  독일의 수학자 칸토어(Cantor, 1845~1918)가 시간은 아무리 나누어도 그 합이 유한하다는 사실을 밝히며 제논의 역설을 반박하는데 성공했지요. 
 칸토어는 무한한 거리의 계산 값을 구하였고, 아킬레스는 거북이가 앞서간 ㉠m를 지나는 순간 거북이를 앞지르게 된다는 것을 증명해냈습니다.
 

294970. Quiz! -

 칸토어는 무한한 거리의 계산 값을 구하였고, 아킬레스는 거북이가 앞서간 ㉠m를 지나는 순간 거북이를 앞지르게 된다는 것을 증명해냈습니다.
[문제] 제논의 주장을 조건으로 하여 위의 ㉠에 알맞은 수를 구해 보세요.
 

• 번째 이야기: 아르키메데스

아르키메데스(BC. 287~212?)는 반지름의 길이가 1인 원에 내접, 외접하는 정다각형을 이용하여 원주율을 계산하는 방법을 최초로 고안하였고, 스스로 정96각형의 한 변의 길이까지 계산했습니다. 
(정육각형의 한 변의 길이) -> (정십이각형의 한 변의 길이 -> (정이십사각형의 한 변의 길이) -> ...
이런식으로 정96각형의 둘레의 길이까지 계산해 나갔던 것이지요.
3.1408545... < 원주율 < 3.1428571...
아르키메데스의 방법이 가장 논리적이었기 때문에 정다각형을 이용하여 원둘레를 계산하는 방법은 아르키메데스 이후 17세기까지 대략 2000여년 동안 수많은 수학자들이 사용했답니다.
 

• 번째 이야기: 디오판토스

문자식의 사용이나 이항 등 현재와 같은 방정식의 해법의 기초를 이룩한 사람은 고대 그리스의 수학자 디오판토스(200~284)입니다. 그는 훌륭한 수학자로서  존경을 받았으면서도 언제 어디서 태어나고 언제 어떻게 죽었는지 아무도 알 수가 없었습니다.
그러나 그의 나이만은 알 수가 있는데, 그것은 그의 묘비에 오른쪽과 같은 문제가 새겨져 있었기 때문입니다. 이 묘비에서 디오판토스의 나이를 알아봅시다.
 
디오판토스가 사망한 나이를 x세라고 하면 다음 방정식이 성립합니다.
양 변에 분모들의 최소공배수인 84를 곱하여 정리하면 x=84이므로 디오판토스는 84세까지 살았음을 알 수 있습니다.
 

• 번째 이야기: 히파티아

히파티아(370~415)는 고대 이집트 알렉산드리아에서 자신만의 굳은 신념을 가지고 활약한 최초의 여성 수학자이자 철학자입니다. 그녀는 수학과 천문학에 관한 많은 책을 저술하였지만 거의 모두 분실되고 파손되어 현재는 찾아볼 수가 없지요. 얼마 남아 있지 않은 기록 중 그녀가 쓴 '아폴로니우스의 원추곡선'에 관한 이론은 이후 뉴턴, 라이프니츠의 연구가 나올 때까지 아무도 발전시기키 못했기 때문에 기하학에서는 중요한 이론으로 평가 받고 있어요. 
아름다운 히파티아의 마지막은 처참했습니다. 당시 로마제국에서는 철학과 기독교 사이의 갈등이 지속되고 있었는데, 아무리 그녀가 종교적 중립을 지켜도 기독교인들은 그녀의 철학을 사교로 여겼지요. 
결국 그녀는 강의를 마치고 집으로 가던 어느 날, 기독교 무리에 의해 굴 껍질로 피부가 벗겨지고 불에 태워지는 끔찍한 고통을 받으며 죽임을 당했습니다. 편협한 광신주의자들에게 희생당한 히파티아는 훗날 근대 계몽사상가들에 의해 '가장 아름답고 순결하며, 탁월한 지성을 갖춘 여성'으로 인정받았습니다.
 

• 번째 이야기: 14면체 주사위, 주령구

1975년 경주의 옛 궁터에 남아 있는 연못인 안압지를 발굴하다가 연못 바닥에서 참나무로 만든 주사위 같은 것이 발견되었다. 8세기경(통일 신라 시대)에 제작된 것으로 추정되는 주사위는 흔히 보는 정육면체가 아닌 14면체였다. 정육면체를 벗어난 모양의 주사위는 다른 나라에서도 여러 가지로 제작되었는데, 주로 역할 놀이를 하기 위해 만들어진 것이다. 안압지의 주사위에도 각 면에는 숫자가 아닌 문구가 새겨져 있어, 일종의 게임을 하기 위한 것이었음을 짐작할 수 있다. 그중에는 '술 한 잔 마시고 크게 웃기', '반주와 노래 없이 춤추기' 등이 있어 우리 조상들의 짓궂은 멋을 엿볼 수 있다. 그래서 이 주사위에는 '술 마시기를 명령하는 놀이 기구'란 뜻으로 주령구(酒令具)라는 이름이 붙었다.
 
 
 

• 번째 이야기: 피보나치

세상에서 가장 아름다운 것은 무엇일까요? 사람마다 의견이 분분하겠지만 사고의 확장을 통한 새로운 발견, 그리고 '창조'라는 단어만큼 아름다운 것은 없을 것입니다. 일상에서 흔히 볼 수 있는 현상을 오랫동안 관찰하고 생각해서 새로운 것을 창조해냈던 아름다운 수학자가 바로 피보나치입니다.
피보나치는 이탈리아에서 태어나 상인이던 아버지의 영향을 받아 수학을 실생활에 적용시키는 데 뛰어난 재능이 있었습니다. 어느 날 아버지를 따라 여행을 간 피보나치는 한 농장에서 토끼장을 보게 되는데, 호기심이 많던 피보나치는 토끼를 관찰하다가 그 번식 과정에 궁금증을 가지게 되지요.
'갓 태어난 암수 한 쌍의 토끼를 사육한다고 할 때, 새로 태어난 토끼 한 쌍이 두 달 뒤부터 매단 암수 한 쌍을 낳는다면 1년 동안 몇 쌍으로 불어날까?'
그 결과 매달 생기는 토끼의 쌍은 '1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...'임을 알게 되고, 여기에 이웃하는 두 수의 합이 다음 숫자가 되는 규칙이 있음을 발견하게 됩니다. 그것이 바로 '피보나치 수열'입니다.
 

• 번째 이야기: 네이피어

발명은 '아직까지 없던 기술이나 물건을 새로 생각하여 만들어내는 것'이라고 정의됩니다. 발명과 발견의 차이를 설명하기는 쉽지 않아 보이는데, 다음 네이피어의 일화를 통해 발명과 발견의 차이를 알아봅시다.
16세기 대항해 시대, 당시 선원들은 별의 위치를 보고 자신의 위치를 파악했습니다. 하지만 정확하지 않은 천체력 때문에 많은 선원들이 길을 잃어 목숨을 잃는 사고가 빈번하게 발생했고, 시간이 지남에 따라 천문학은 발달했지만 천문학자들은 큰 숫자들을 다루는 복잡한 계산에 한계를 느꼈지요.
이러한 시기에 스코틀랜드 출신의 수학자 네이피어는 천문학적인 큰 수를 쉽게 계산할 수 있는 방법을 연구하던 중 두 수의 곱이나 몫은 근삿값을 작은 수의 합이나 차로 바꾸어 계산할 수 있는 방법을 발견하고, 1614년 <경이적인 로그 체계의 기술>이라는 책을 발표했습니다. 
이것이 바로 로그의 탄생이라고 할 수 있는데, 오늘날까지도 많은 전문가들은 로그가 천문학자의 수명을 2배까지 늘렸다며 네이피어의 발견을 높이 평가하고 있습니다.
 

• 번째 이야기: 홍정하

조선 후기의 수학자 홍정하(1684~?)는 방정식과 마방진 등을 연구했습니다. 그가 쓴 책인 구일집에는 파스칼의 삼각형, 복잡한 이항계수의 정리, 고차 방정식의 풀이 등이 쓰여있지요.
당시 중국에서는 사라진 방정식 표현법인 천원술을 발전시키고 조립제법 비슷한 알고리즘을 사용한 증승개방법을 통해 방정식의 풀이법을 연구해 저서인 <구일집>에 10차 방정식의 풀이까지 담아 조선만의 방정식 이론을 발전시켰습니다. 물론 당연히 찾지도 못하는 참값을 찾은 건 아니고 산가지를 이용해 수치해석학적 풀이를 찾은 것이지요.
두 수의 최소공배수와 최대공약수의 수학적 구조를 조선 최초로 얻어냈으며,
1713년 청나라에서 온 사신인 산학자 하국주와 홍정하가 만나 서로 수학문제를 낸 일화가 유명합니다.
 

• 번째 이야기: 오일러

스위스 바젤 출신의 수학자이자 물리학자인 오일러(1707~1783)는 수학의 거의 모든 분야와 관계를 맺었습니다. '해석학의 화신', '최대의 알고리스트(algorist)' 등으로 불렸으며, 왕성한 저술가이기도 했던 그는 천문학, 기하학, 그래프 이론, 유체 역학 등 다양한 주제에 관한 글을 썼습니다.
 
- 무리수 e의 도입 -
 무리수 e는 주어진 공식에 아주 큰 n의 값을 대입해 그 근삿값을 구할 수 있습니다.
무리수 e는 일반적으로 연속 성장을 표현하기 위해 고안된 상수이며, 100%의 성장률을 가지고 1회 연속 성장할 때 얻게 되는 성장량입니다. 
 
- '한 붓 그리기' 탄생 일화 -
저명한 철학자였던 칸트가 여생을 보낸 쾨니히베르그에 프레겔 강이 흐르는데 이 강에는 일곱 개의 다리가 있습니다. 시민들은 '이 다리를 한 번씩만 건너서 산책할 수는 없을 까?' 하는 것에 관심을 보였다고 합니다. 
아무도 명확한 대답을 내놓지 못하자 사람들이 오일러에게 이 문제의 풀이를 부탁했더니, 오일러는 "모든 다리를 건너려면 출발점과 도착점을 제외한 모든 꼭짓점의 차수가 짝수이어야 하므로 껏은 불가능하다"라고 말했습니다. 이 개념은 오늘날 '한 붓 그리기 원리'로 전해집니다.
시작점에서부터 모든 선분을 지나 제자리로 돌아오는 한 붓 그리기는 홀수점의 개수가 0이나 2일 경우에만 가능하며, 홀수점의 개수가 0일 때는 어디서 출발하더라도 항상 그릴 수 있고, 홀수점의 개수가 2일 때는 어느 한 점에서 출발하면 반드시 다른 한 홀수점에서 끝납니다.
 

• 번째 이야기: 뉴턴과 라이프니츠

뉴턴(1642~1727)은  1665년부터 스스로 유율법이라고 이름 붙인 미적분을 발견하고, 이를 이용해 만유인력의 법칙을 확인했습니다. 한편, 1673년과 1676년 사이에 독일의 법률가이자 수학자인 라이프니츠(1646~1716)도 미적분을 발견했습니다.
 뉴턴과 라이프니츠는 수학 지식에 관한 의견을 자유롭게 주고받을 정도로 매우 친밀한 사이였고, 미적분이 발견되기 전까지 둘은 서로 편지를 주고 받으며 미적분에 관한 견 해를 나누곤 했지요.
 하지만 두 사람을 제외한 다른 사람들은 미적분은 누가 먼저 발견했느냐에 관심을 기울였고 갈등은 점점 더 깊어졌습니다. 당사자들은 대립보다 협력을 선택했지만, 주변 사람들의 태도는 달랐던 것입니다. 영국 왕립협회(뉴턴 편)는 라이프니츠의 미적분을 인정하지 않았고, 라이프니츠가 발명한 미분기호 역시 쓰지 않았습니다.
 어떤 역사학자들은 '이 자존심 싸움으로 영궁의 수학이 200년 뒤처지게 되었다'라고 평하기도 합니다.
 

• 번째 이야기: 필즈상 그리고 허준이 박사

매 4년마다 열리는 세계수학자대회(International Congress of Mathematicians (ICM))에서 수여되는 필즈상은 수학에서 가장 권위 있는 상입니다. 그래서 필즈상을 수학의 노벨상이라 부르지만 노벨상과는 아무런 관련이 없습니다. 
다른 기초과학분야에 있는 노벨상이 수학에는 없는데 그 이유로는, 노벨상은 ‘반드시 발명이나 발견을 통해 실질적인 인류복지에 기여한 자에게 준다’라고 명시되어 있으며 그 당시 학문의 성격상 이론 위주인 수학을 실용성이 있는 분야가 아닌 것으로 간주했기 때문이라 추측됩니다.
이 상의 자금은 당시 토론토대학교의 J.C.필즈 수학과 교수가 기부하였습니다. 그는 이 상이 전세계의 어느 나라의 수학자에게도 주어질 것, 그리고 이미 이루어진 업적에 대한 표창인 동시에 그것을 수령한 수학자의 장래의 정진에 대한 장려의 뜻을 포함한다는 것을 희망하였습니다.
 
한국계 수학자 허준이 미국 프린스턴대 교수 겸 한국 고등과학원(KIAS) 수학부 석학교수가 2022년 7월 5일 필즈상의 영예를 안았습니다. 국제수학연맹(IMU)은 이날 핀란드 헬싱키 알토대학교에서 열린 시상식에서 허 교수를 필즈상 수상자로 발표했지요. 미국 국적이지만 한국 수학자로서는 최초 수상이며 이전까지 한국계나 한국인이 이 상을 받은 적은 없었어요.
허 교수는 '리드 추측'과 '로타 추측' 등 오랜 수학 난제들을 하나씩 증명하면서 수학계에 명성을 떨쳤습니다. 특히 '리드 추측'은 채색 다항식을 계산할 때 보이는 계수의 특정한 패턴을 수학적으로 표현한 것으로, 1968년 제기된 수학계 난제 가운데 하나였지요.
대한수학회는 "허준이 교수는 대수기하학을 이용하여 조합론 분야에서 다수의 난제를 해결하고 대수기하학의 새 지평을 연 공로를 인정받아 필즈상을 수상했다"며 "연구 업적들은 정보통신, 반도체 설계, 교통, 물류, 기계학습, 통계물리 등 여러 응용 분야의 발달에 기여하고 있다"고 설명했습니다.