1. 제목 사이클로이드곡선 숨겨진 비밀 2. CONTENTS 먼저 영상목차를 소개하겠습니다. 사이클로이드 곡선이란? 사이클로이드 곡선의 역사 사이클로이드 곡선의 성질 매개변수로 나타낸 함수로 표현하기 사이클로드 곡선의 길이 구하기 사이클로이드 곡선 작도하기 의 순서로 알아보겠습니다. 3. 사이클로이드 곡선이란? 바퀴라는 의미의 그리스어에서 나온 말로써 원이 직선 위를 구를 때, 원 위의 한 점이 그리는 곡선입니다. 적당한 반지름을 갖는 원 위에 한 점을 찍고, 평면에 그 원을 한 직선 위에 놓고 굴렸을 때 점이 그리며 나아가는 곡선입니다. 4. 사이클로이드 곡선의 역사 1501년 프랑스의 수학자 부벨이 ‘움직이는 원 위의 한 점에 의하여 생성되는 곡선’이라는 문서에서 원의 넓이를 구하기 위해 최초로 사이클로이드 곡선을 이용했다는 기록이 남아있습니다. 갈릴레오 갈릴레이는 호빵 모양의 사이클로이드 곡선 아랫부분의 넓이가, 곡선의 기초가 되는 생성원 넓이의 3배라는 사실을 알아냈고, ‘사이클로이드’라는 이름도 이때 갈릴레이가 붙였습니다. 사이클로이드의 접선을 그리거나, 넓이를 구하는 독자적인 방법들이 ‘마지막 정리’로 유명한 페르마나 데카르트, 토리첼리 등 다양한 수학자들로부터 나왔습니다. 또한, 영국의 건축가이자 천문학자였던 크리스토퍼 렌은 사이클로이드 곡선의 길이가 생성원 지름의 4배라는 것을 증명하기도 했습니다. 최단 시간 강하 곡선의 특징과 관련해서는 1696년 스위스의 수학자 요한 베르누이가 당시 유럽의 수학자들에게 문제를 낸 기록이 있습니다. 한 점에서 다른 점으로 공이 중력에 의해 내려갈 때, 가장 빠른 경로, 즉, 사이클로이드 곡선을 찾아내라는 것이었습니다. 뉴턴, 라이프니츠, 로피탈이 풀이에 성공했다고 하며, 특히 뉴턴은 단 하루 만에 해결했다고 전해집니다. 사이클로이드 곡선은 18세기까지 수많은 수학자들에 의해서 연구되었고, 이러한 연구의 과정에서 미적분이나 해석기하학 등을 탄생 혹은 발전시키는 데 많은 공헌을 했습니다. 5,6. 사이클로이드 곡선의 성질 성질1 최단강하곡선 원, 직선, 사이클로이드 모양으로 미끄럼틀을 만들고, 같은 높이에서 공 세 개를 동시에 굴려보면, 거리가 가장 짧은 직선을 따라 굴린 공이 가장 먼저 바닥에 도착한다고 생각하기 쉽지만, 실험을 해보면 결과는 그렇지 않습니다. 사이클로이드에 놓인 공은 최적으로 가속되면서 움직이기 때문에 가장 먼저 바닥에 도착합니다. 즉, 사이클로이드를 '최단강하곡선'이라고 합니다. 성질2 등시곡선 사이클로이드에서는 어떤 높이에공을굴려도동시에 바닥에 떨어집니다. 서로 다른 높이에 굴린 두 개의 공이 바닥에도달하는데 걸리는 시간이 같습니다. 즉, 사이클로이드를 '등시곡선'이라고 합니다. 7. 매개변수로 나타낸 함수로 표현하기 사이클로이드 곡선을 '매개변수로 나타낸 함수'로 표현하기 우리가 알아야할 개념은 미적분 교과서에서 배우는 매개변수로 나타낸 함수의 미분법입니다. 두 변수 의 관계를 새로운 변수 를 이용하여 ① 와 같이 나타낼 때, 를 매개변수라 하고, ①을 매개변수로 나타낸 함수라고 합니다. 8. 매개변수로 나타낸 함수로 표현하기 사이클로이드 곡선을 '매개변수로 나타낸 함수'로 표현해보겠습니다. p=(x,y) 는 원이 굴러간 거리 와 같으므로 == 따라서, 로 나타낼 수 있습니다. 9. 사이클로이드 곡선의 길이 구하기 사이클로이드 곡선의 길이 구하기위해 우리가 알아야할 개념은 미적분교과서에서 배우는 평면 운동에서 움직인 거리입니다. 점 의 시각 에서 위치가 이고, x, y가 시각 t의 함수일 때 ,에서 까지 점 가 움직인 거리 은 입니다. 즉, 속력을 적분하면 거리를 구할 수 있습니다.
10. 사이클로이드 곡선의 길이 구하기 사이클로이드 곡선의 길이를 구해보겠습니다. 곡선의 길이는 점 P가 움직인 거리로 생각해 볼 수 있습니다. 먼저 매개변수 로 나타낸 함수를 각각 에 관하여 미분을 하고 난 후, 평면운동상에서의 속력을 구합니다. 그 후, 평면운동상에서의 움직인 거리 공식에 대입합니다. 삼각함수의 정적분을 통해 움직인 거리 즉, 곡선의 길이를 구할 수 있습니다. 사이클로드 곡선의 길이는 생성원 반지름의 8배라는 사실을 알 수 있습니다. 11,12,13. 사이클로이드 곡선작도하기 지오지브라는 그래프를 만드는 프로그램입니다. 지금부터 사이클로이드 곡선을지오지브라 프로그램을 통해 작도하는 방법을 소개해보도록 하겠습니다. 화면에 보시는 대로 크게 8단계로 설명할 수 있으며, 슬라이드러를 설정한 후, 각 단계에 맞는 수식창에 입력하여 만들어 낼 수 있습니다. 지오지브라를 통해 사이클로이드 곡선을 구현해낸 화면입니다. 이를 통해 사이클로이드 곡선의 길이가 생성원의 8배임을 확인 할 수 있습니다. 14.사이클로이드 곡선의 실생활사례 1. 롤러코스터 롤러코스터는 승객들에게 스릴을 제공하기 위해 높은 곳에서 낮은 곳으로 빠르게 이동하는 것이 주요한 목표중 하나입니다. 이를 위해 롤러코스터의 경사로는 최단시간강하 경로 즉, 사이클로이드 곡선을 따라 설계됩니다. 2. 사이클로이드 형태의 자연현상 독수리나 매 같은 조류의 낙하 동작 조류는 먹잇감을 잡기 위해 고공에서 빠르게 내려오는데, 이때 그들이 그리는 경로는 사이클로이드 곡선에 가깝습니다. 이런 동작은 가능한 한 빠르게 먹잇감에 도달하기 위한 최적의 경로를 찾는 노력의 결실이 유전적으로 이어져 오는 것으로 볼 수 있습니다. 15. 직접해볼까요? 자, 이제 여러분들께서 직접 실습해 볼 차례입니다. 충북체험센터에 있는 사이클로이드 미끄럼틀을 통해 사이클로이드 곡선이 최단강하곡선인지를 직접 확인해봅시다. 또한, 영상속에 제시된 개념을 학습한 후, 사이클로이드의 곡선의 길이를 증명해보고 지오지브라 프로그램을 통해 작도해봅시다. 지금 까지 시청해주셔서 감사합니다.
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