1- 안녕하세요. 이번시간은 지수함수와 로그함수의 활용에 대해서 알아보겠습니다. 지수함수와 로그함수는 일상생활속의 우리 주변에서 유용하게 활용되고 있습니다. 지수함수와 유리함수가 어떤 모습으로 우리에게 도움을 주고 있는지 지금부터 확인해보도록하겠습니다.

2- 은행 속에서 지수함수를 발견할 수 가 있습니다. 우리가 은행을 가는 큰 이유가 돈을 저축하기 위해서 인데요. 은행에 돈을 저축하면 은행은 우리에게 이자를 줍니다. 요즘은 이율이 적어 은행에 저축을 하여 돈을 많이 불리기는 어렵지만 그래도 이자를 꾸준히 모으면 돈이 불어납니다. 이자를 받아 우리의 돈이 불어나는 것을 지수함수로 계산할 수 있는데요. 이자를 받는 방법은 두가지가 있습니다. 단리와 복리! 다들 한번쯤은 들어봤을텐데요.

3- 우선 단리부터 알아봅시다.
예를 들어 100만원을 은행에 넣고 매년 1%이자를 10년동안 단리로 받는다고 해봅시다.
첫해는 100만원의 1%인 1만원을 이자로 받는다. → 총 101만원이 된다.
두 번째 해도 100만원의 1%인 1만원을 이자로 받는다. → 총 102만원이 된다.
세 번째 해도, 네 번째 해도 매년 1만원을 이자로 받는다.
결국, 10년동안 1만원씩 총 10만원의 이자를 받는다.
따라서 10년후면 110만원이 된다.

4- 이것을 식으로 나타내보자
1%=0.01이므로
첫 해 : 100만원 + 100만원 * 0.01
두 번째 해 : 100만원(1+0.01) + 100만원 * 0.01 = 100만원(1+0.02)
세 번째 해 : 100만원(1+0.02) + 100만원 * 0.01 = 100만원(1+0.02+0.01) = 100만원(1+0.03)
n번째 해 : 100만원(1+0.01*n)

5- 이젠 복리로 알아봅시다.
똑같이 100만원을 은행에 넣고 매년 1% 이자를 10년동안 복리로 받는다고 하자.
첫 해는 100만원의 1%인 1만원을 이자로 받는다. → 총 101만원이 된다.
두 번째 해는 원금 100만원의 1%인 만원만 이자를 주는 것이 아니라 원금 100만원에 전년도에 받은 이자 1만원까지 총 101만원의 1%인 1만 100원을 이자로 받는다. → 총 102만 100원이 된다.
세 번째 해에는 원금100만원에 첫해에 받은 이자 1만원, 두 번째 해에 받은 1만 100원까지 해서 총 102만 1백원의 1%인 1만 201원을 이자로 받는다. → 총 103만 301원이 된다.

6- 이것을 식으로 나타내보자.
첫 해 : 100만원 + 100만원 * 0.01 = 100만원(1+0.01)
두 번째 해 : 100만원(1+0.01) + 100만원 * 0.01 = 100만원(1+0.01)(1+0.01) = 100만원(1+0.01)²
세 번째 해 : 100만원(1+0.01) + 100만원(1+0.01)² * 0.01 = 100만원(1+0.01)²(1+0.01) = 100만원(1+0.01)³
n번째 해 : 100만원(1+0.01)ⁿ

7- 그렇다면 원금을 A, 이율을 r%라고 할 때 n년 후의 원리합계
단리: f(n)=A(1 + r/100*n)원
복리: f(n)=A(1 + r/100)ⁿ원

8- 선생님이 문제를 하나 내보겠습니다. 1000만원을 연이율 5%로 10년간 예금하려고 한다. 단리로 계산할 떄와 복리로 계산할떄의 10년후 원리합계의 차이는 얼마인지 구해보자 (log1.05 = 0.0212, log1.36=0.2122)

9- 단리:
f(n)=10의 7제곱 * (1 + 5/100*n)
f(10)=10의 7제곱 * (1 + 5/100*10)
=10의 7제곱 * (1+1/2)=1.5*10의 7제곱=15,000,000원

10- 복리:
g(n)=10의 7제곱 * (1 + 5/100)ⁿ
g(10)=10의 7제곱 * (1 + 5/100)의 10제곱
=10의 7제곱 * (1.05)의 10제곱
=10의 7제곱 * 1.63 = 16,300,000원 이다.

11- 따라서 복리로하면 16,300,000원, 단리로 하면 15,000,000원, 차이는 1,300,000원 이다.
즉, 복리로 하는게 130만원 이익을 볼 수 있다.

12- 지금까지는 증가하는 지수함수의 활용에 대해 알아보았습니다. 이번에는 감소하는 지수함수의 활용에 대해 알아보겠습니다. 감기 혹은 여러 다른 아픈 증상 때문에 진료를 받고 처방 약을 받은 경험은 모두 있을 겁니다. 약 복용법을 보면 ‘하루에 몇 번’, ‘식전 또는 식후 복용’, ‘다시 복용할 경우 몇 시간 이상 지난 후에 복용할 것’ 등 자세한 지시가 적혀 있습니다. 안전하게, 그리고 확실한 효과를 내기 위해서는 이러한 지시 사항을 반드시 지켜야 합니다. 그런데 이러한 약의 복용 간격이나 횟수 등은 어떻게 정하는 것일까요?

13- 흔히 질병 또는 그 밖의 상해로 인한 통증 및 아픔을 느끼지 못하도록 하는 약을 진통제라고 합니다. 이런 진통제는 증상에 따라 처방이 달라지죠. 갑자기 격렬한 통증이 올 경우는 단시간에 확실한 효과가 있는 것, 장시간에 걸쳐 계속 아픈 경우는 장시간 효과를 발휘하는 것이 필요합니다. 여기서 중요한 것은 복용한 약이 몸속에서 어느 정도의 농도가 되느냐 하는 것입니다. 이때 고려하는 것이 ‘반감기’라고 하는 지표입니다.. 반감기는 본래 어떤 방사성 핵종의 원자 수가 초기 값의 절반이 되는 데 걸리는 시간을 의미하는 말인데요. 화학작용이나 약물의 효용에서도 어떤 물질의 양이 시간이 지남에 따라 감소할 때 그 양이 최초의 절반이 되기까지 소요되는 시간을 의미합니다. 결국 약을 먹을 때의 반감기란 처음 먹은 약의 체내 농도가 반으로 줄어드는 시간을 말합니다. 대부분의 약은 반감기의 4∼5배 시간이 지나면 대사 과정에서 몸 밖으로 빠져나가 효과가 사라지는 것으로 알려져 있습니다. 따라서 약의 반감기를 알면 대략적인 작용 시간을 알 수 있고 하루에 몇 번을 먹으면 되는지도 알 수 있는 것이죠.

14- 약이 어떻게, 얼마나 효과를 발휘하는지 알려면 혈액 속 약의 농도인 혈중 농도를 계산하는 것도 필요합니다.
혈중농도:혈액 속에 있는 물질의 성분 농도
예)혈중 알코올 농도 = (음주량 × 알코올 농도 × 알코올비중 × 체내흡수율) ÷ (몸무게 × 성별계수)

15- 약물 혈중 농도를 나타내는 식에는 지수함수가 사용됩니다. 지수를 사용하여 혈중농도의 큰 수나 작은 수의 계산을 편하게 할 수 있습니다.
약물의 혈중 농도 : 혈액 속에 있는 약의 성분의 농도
혈중 농도 식은 지수함수를 사용한다
C(t) = C0 * e의 -kt 제곱
C=그 시점에서의 혈중농도
C0=초기 혈중농도
e=자연로그의 밑
k=소실 속도 상수
t=시간

16- 약물의 혈중 농도를 이용하여 약의 복용 최대 횟수를 알 수 있습니다.
활용) 약물처방
하루 중 환자가 깨어있는 시간이 16시간이라고 가정하자. 이때 소실속도상수가 1인 약을 복용할 수 있는 최대 횟수는?
(단, 자연로그의 밑은 2로 계산한다.)

17- 이식을 해결하면
4시간이면 약의 효과가 사라지게 되므로 4시간에 한번씩 약을 복용할 수 있습니다.
이 환자가 깨어 있는 시간이 16시간이므로 하루에 최대 4번까지 약을 복용할 수 있습니다.
t=1이므로 반감기는 1시간이다.
→ 반감기의 4배가 지난 후 약의 효과가 사라진다고 했으므로
1 * 4 = 4 → 4시간에 한 번씩 복용할 수 있다.
→ 즉, 16 ÷ 4 -4이므로 최대 4번 복용할 수 있다.

18- 이번엔 술을 먹은 후 몇시간 뒤에 운전을 할 수 있는지 알아봅시다.
한 취객이 음주 후 혈중 알코올 농도를 측정해보았더니 0.18%였다.
혈중 알코올 농도가 0.0018%이하인 사람부터 음주단속에 걸리지 않는다고 할 때 이 취객은 약 몇시간 후부터 운전할 수 있겠는가?
(단, 자연로그의 밑은 2로 계산하고 소실속도 상수는 1이다.)

19- C-0=0.18 자연로그의 밑을 2라고 했으므로 따라서 약 7시간 이후부터는 운전을 할 수 있습니다.

20- 질병을 예방하고 면역력을 늘리기 위해 맞는 예방접종, ‘백신’도 마찬가지입니다. 예방접종의 원리는 항원이 되는 질병에 대해 우리 몸이 미리 항체를 형성해 보게 함으로써 그 질병에 저항하는 후천 면역이 생기도록 하는 것입니다. 이를 위해 항체가 형성되기까지 걸리는 시간, 또 그 효과가 얼마나 지속되는지를 계산하는 것은 백신의 효용성을 높이는 데 아주 중요하죠. - 수학적으로 계산 하여 독감 예방접종은 항체가 형성되기까지 짧게는 2주에서 길게는 한 달이 걸리며, 면역 효과는 평균 6개월 정도 지속되는 것을 알 수 있습니다. 지수 외에도 여러 수학적 개념을 활용해 백신의 유효성과 안전성을 계산하고 있지요. 백신 접종의 우선순위를 결정할 때도 접촉빈도 등을 고려하기 위해 수학적 모델을 이용한답니다. 코로나19와의 싸움에서도 수학이 열심히 일하고 있다는 점을 기억해 주세요.

21- 벤포트의 법칙을 들어보신적이 있나요? 한 번은 들어봤을텐데요. 벤포드의 법칙속에는 로그함수가 숨어져 있다고 합니다. 지금부터 벤포드 법칙이 무엇인지 알아볼까요? 우리는 주가, 경제 지표, 세계 인구수 등에서 수를 자주 접합니다. 이들 수의 첫 자리에는 어떤 숫자가 가장 빈번하게 나타날까요?

22- 첫 자리에 1부터 9까지의 각 숫자가 나타나는 빈도는 비슷하여 11.1%(≒1/9)씩 분포할 거라고 예상하겠지만 다양한 수치 자료에서 1이 가장 빈번하게 나타난다고 합니다. 굉장히 흥미로운 사실이죠?
뭐 이런 법칙이 있나 싶겠지만 놀랍게도 이 벤포드의 법칙에 따르면 첫 번째 숫자의 분포가 균등하지 않고 첫 번째 숫자가 1로 시작할 가능성이 제일 많고 그 다음은 2,3 그리고 9로 시작할 가능성이 가장 적다. 즉, 숫자 1이 첫 번째로 나올 확률이 거의 30.1%에 달하며 숫자가 커질수록 활률은 점점 낮아져서 숫자 9는 5% 정도로 6배 이상의 발생 빈도수가 차이가 난다는 것이다. 트위터 팔로워 숫자, 아이폰 비밀번호, 테러사건 희생자 수 등 전혀 관련 없는 숫자들을 조사해보면 신기하게도 첫 번째 자리 숫자로 1이 가장 많이 나오고 8이나 9는 가장 적게 나온다.

23- 이러한 사실은 년 미국의 천문학자 뉴컴(Newcomb, S., 1835~1909)이 처음 발견했습니다.. 그는 자신이 사용하던 로그표가 수록된 책에서 처음 몇 장이 뒤쪽 장에 비해 더 닳아 있는 것을 발견하고 실생활에서 로 시작하는 수가 다른 숫자로 시작하는 수보다 자주 나타난다는 결론을 이끌어 냈다.

24- 그 후 미국의 물리학자 벤포드(Benford, F., 1883~1948)는 통계표나 목록에서 첫 자리에 부터 까지의 각 숫자가 나올 확률은 다르며 1이 나올 확률이 전체의 % 정도로 가장 크다는 것을 알아내어 첫 자리 숫자의 분포를 발견하였다. 벤포드는 강(江) 유역 넓이, 물리학 상수, 야구 기록 등 서로 아무 관계가 없는 숫자 2만 여개를 분석해 이런 현상이 나타는 사실을 확인했습니다. 25- 이 법칙을 ‘벤포드의 법칙(Benford’s Law)’이라 하고, 첫 자리 숫자에 가 나올 확률 는 다음과 같습니다. 이며 로그함수를 이용하여 나타낼 수 있습니다. 이 식으로부터 확률을 구하면 다음 표와 같이 숫자가 커질수록 첫 자리에 그 숫자가 나올 확률은 낮아짐을 알 수 있습니다. 26- 다양한 곳에서 벤포드의 법칙의 모습을 발견할 수 있는데요! 세계은행 홈페이지에 가면전 세계 264개 국가와 지역 국내총생산(GDP) 데이터를 내려받을 수 있습니다. 2020년 2월 27일 기준으로 이 데이터에는 1960년부터 2018년까지 총1만2092개 자료가 들어 있습니다. 이 1만2092개 자료에서 첫 자리 숫자만 가져 오면 자연수 1~9는 어떤 비율로 분포할까요? 각 숫자가 첫 자리에 몇 번 나오는지 세어서 비율을 따져 보면 그래프처럼 나옵니다.

27- 전세계GDP 첫 숫자비율과 벤포드 비율을 비교해 보면 비슷하게 나온 것을 알 수 있습니다.

28- 2의 거듭제곱에서도 벤포드의 법칙을 확인할 수 있습니다. 2, 2의 제곱 4, 2의 세제곱 8, 2의 네제곱 16 제곱수들을 구해보면 오른쪽처럼 2의 거듭제곱 수를 얻을 수 있습니다. 첫 번째 자리에 1이 오는 경우가 21개의 숫자 중 무려 7개나 됩니다. 그 다음에 2가 4개, 3,4,5,6,8이 2개 그리고 7,9개 0개입니다. 물론 21개 밖에 안되니까 그럴 수 도 있겠지만 이건 결코 우연이 아니고 200개의 2의 거듭제곱수를 해보면 다음과 같이 결과가 나오는 것을 알 수 있습니다.

29- 왼쪽 표와 그래프를 보면2의 거듭제곱 첫 숫자비율과 벤포드 비율이 비슷하게 나온 것을 확인할 수 있습니다.

30- 우리에게 익숙한 피보나치 수에서도 벤포드의 법칙을 발견할 수 있습니다. 피보나치 수열은 첫 번째 항과 두 번째 항을 1로 놓고 세 번째 항부터는 앞에 있는 두 항을 계속 더하여 만든 것이다. 즉, 1,1,2,3,5,8... 로 계속되는데 400항까지 나열한 다음 첫 번째 자리에 오는 숫자의 분포를 조사하면 다음과 같이 벤포드의 법칙을 따르는 것을 확인할 수 있습니다.

32- 벤포드법칙을 이용하여 수치조작된 자료를 구별할 수 있는데요. 우선 첫 번째로 소셜네트워크서비스(SNS) 친구 숫자를 알아보겠습니다. SNS친구 숫자 또한 벤포드 법칙을 따릅니다. 제니퍼 골벡 미국 메릴랜드대 교수는2015년 트위터 계정 2만988개를 대상으로 친구의 친구 숫자를 조사했습니다. 그 결과 계정 89.7%(1만2226개)가 벤포드 법칙과 피어슨 상관계수0.9 이상을 기록하는 친구의 친구 숫자를 나타냈습니다. 이 값은 완전히 다를 때가 0이고, 완전히 같을 때가 1입니다. 처음에 본 국가별 GDP 자료를 가지고 계산하면 0.9999가 나옵니다. 그런데 트위터 계정 가운데 170개(0.8%)는 이 상관계수가 0.5 아래였습니다. 의아해서 확인해 봤더니 이 계정 가운데 2개를 빼고 나머지는 소위 '트위터봇'이었습니다! 벤포드 법칙을 이용하여 SNS 친구 숫자가 조작되었음을 확인할 수 있었습니다.

여기서 놓치지 말아야 할 건 어떤 숫자가 벤포드 법칙을 따르지 않는다고 곧바로 조작은 아니라는 점입니다. 골벡 교수도 직접 확인 과정을 거친 다음 결론을 내렸습니다. 벤포드 법칙을 따르지 않는다는 건 조작을 의심할 만한 필요조건일 뿐 충분조건은 아닌거라구요.

33- 두 번째로는 이론상 회계 장부에 나오는 숫자도 벤포드 법칙을 따라야 합니다. 그래서 어떤 회사 회계 장부에 등장한 숫자를 조사한 결과 벤포드 법칙과 크게 어긋난 분포로 나타났다면장부 조작을 의심해 볼 수 있습니다. 회계 담당자도 바보가 아니니니까 벤포드 법칙에 맞아 떨어지도록 첫 번째 숫자를 조작할 수도 있습니다. 그러나 이 숫자에 다시 다른 숫자를 곱했을 때도 계속 이 법칙을 따르도록 장부를 조작하는 건 절대 쉬운 일이 아닙니다. 2001년 미국 수학자마크 니그리니가 당시 미국에서 가장 혁신적인 기업으로 손꼽히던 ‘엔론’이 회계 장부를 조작했다는 사실을 벤포드 법칙으로 밝혀냈습니다. 본격적으로 조사해보니 그 결과 회계 장부가 조작으로 밝혀지면서 엔론은 파산하고 말았습니다. 이를 계기로 미국에서는 회계와 세무를 벤포드 법칙으로 검사하는 일명 ‘벤포드 검사법’이 생겼습니다. 2009년에는 프랑스의 수학자 부드아인 루케마가 이란 대통령 선거가 조작됐다고 발표해 화제가 되기도 했습니다. 한 후보자의 표가 조작된 흔적이 있다고 주장하였는데 이사건은 아직까지도 정확하게 밝혀지지 않았습니다.

또 그리스 정부는 유로존에 가입하려고 재정 적자 규모를 숨겼다가 즉, 장부를 조작했다가 이 벤포드 법칙 때문에 통계 조작 사실이 드러나기도 했습니다. 이처럼 데이터 조작을 밝혀낼 수 있는 건 많은 데이터가 벤포드 법칙을 따르기 때문입니다.

34- 밴포드 법칙이 성립하는 이유는 통계의 많은 항목들이 곱셈과 깊이 관련되어 있기 때문입니다. 즉, 일정한 비율로 증가하기 때문인데요! 예를 들면 1이 2가 되려면 100% 증가해야 합니다. 이때 걸리는 시간을 A라고 합시다. 2가 3이 되려면 50% 증가 해야 하는데 이때 걸리는 시간을 B, 3이 4가 되려면 33.3% 증가해야 하고 이때 걸리는 시간을 C라고 해봅시다. 여기서 걸리는 시간 A,B,C를 비교하면 A가 가장 길고, 그다음 B,그다음 C가 가장 짧습니다. 즉, 1과 2사이에 머무는 시간이 가장 길고, 2에서 9로 갈수록 머무는 시간이 점점 짧아집니다. 이러한 이유로 첫 번째 자리에 숫자 1이 나타날 확률이 높은 것입니다.

35- 벤포드 법칙이 성립하는 예외도 엄청 많습니다. 성인의 키와 IQ는 대부분 1로 시작합니다. 그러나 키와 IQ는 벤포드 법칙을 따르지 않습니다. 그럼 대체 어떤 숫자 데이터는 벤포드 법칙이 나타나고, 나타나지 않는 걸까요? 로또 복권처럼 각각의 숫자가 나올 확률이 같은 균일분포를 따르는 데이터는 벤포드 법칙을 따르지 않습니다. 또 시험 점수와 같이 평균을 중심으로 종 모양을 나타내는 데이터 즉, 정규분포를 따르는 데이터도 벤포드 법칙이 성립하지 않습니다.

지금까지 지수함수와 로그함수의 활용에 대해서 알아보왔습니다. 오늘의 수학자 명언은 수학을 공부할 때 큰 수의 곱셈과 나눗셈,제곱과 세제곱처럼 성가신 것이 없다. 그래서 이러한 방해물을 어떻게 제거할 수 있을까 계속 생각했다 라고 네이피어가 말했습니다. 이 글은 네이피어가 1614년 로그 계산법을 처음 소개한<놀라운 로그 체계의기술>에서 찾아볼 수 있는데요 그는 “Napier’s bone_s”라 불리는 곱셈과 나눗셈 계산기와 로그 계산법을 발명하여 천문 연구에 큰 도움을 주었습니다. 일생생활속에서 불편한 것을 쉽고 편하게 할 수 있게 해주는 수학! 다시 한번 수학의 감사함을 느끼게 되는 시간이었습니다.