안녕하세요. 이번시간에는 유리함수와 무리함수에 대해 알아보겠습니다. 함수자체도 어려운데 유리함수와 무리함수을 배우려니 머리 아픈 친구들이 꽤 있을 거 같은데요? 함수의 그래프를 잘 이해한다면 문제를 쉽게 해결할 수 있습니다. 그럼 지금부터 유리함수와 무리함수의 변수가 변함에 따라 그래프의 모양이 어떻게 변하는지 알아보도록 하겠습니다. 우선 유리함수의 그래프의 모양을 알아보도록 하겠습니다.

<유리함수 y=k(x-p)+q(k≠0)의 그래프>
1. 유리함수 y=k/x의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 q만큼 평행이동한 것이다.
2. 정의역은 {x|x≠p}인 실수이고, 치역은 {y|y≠q}인 실수이다.
3. 점 (p, q)에 대하여 대칭이다.
4. 점근선은 두 직선 x=p와 y=q이다.
지오지브라를 이용하여 유리함수 y=(ax+b)/(cs+d) (ad-bc≠0, c≠0)의 그래프가 상수 a, b, c, d 중에서 어느 하나의 값이 변함에 따라 어떻게 변하는지 알아보자.
유리함수 y=(x+2)/(x-2)의 그래프를 알아보고 a, b, c, d 의 값이 변함에 따라 다음 함수의 그래프가 어떻게 변하는지 말해 보자. 또, 변하지 않는 성질에 대해서도 말해 보자.
(1)y=(ax+2)/(x-2)
(2)y=(x+b)/(x-2)
(3)y=(x+2)/(cx-2)
(4)y=(x+2)/(x+d)

지오지브라를 이용해서 유리함수의 그래프를 그려보도록 하겠습니다.
1. 입력창에 ‘y=(ax+b)/(cx+d)’를 입력하고, 를 누른다.
2. 새 창의 <슬라이더 만들기>를 클릭하여 a, b, c, d에 대한 개의 슬라이더를 만든다.
3. 대수창에서 a=1, b=2, c=1, d=-2로 바꾸면, 함수 y=(x+2)/(x-2)의 그래프가 나타난다.

우선 이 유리함수의 그래프를 살펴보도록 하겠습니다. 마우스의 휠을 통해서 확대, 축소를 할 수 있습니다. 일단은 두 점근선을 찾을 수 있나요? 세로의 점근선은 바로 보이듯이 x=2가 되겠습니다. 그다음 가로 점근선은 확대를 하고 오른쪽으로 가면 y=1을 기준으로 점점가까이 가는 것을 확인할 수 있습니다. 우선 첫 번째로는 에 대한 슬라이더를 좌우로 움직이면서 의 값에 따른 함수 y=(ax+2)/(x-2)의 그래프의 모양의 변화를 확인해보자.

이동을 하면 그래프가 특별해지는 경우가 있습니다. 찾았나요? a=-1일때는 y=-1이라는 직선이 됩니다. -1을 기준으로 왼쪽으로 가면 그래프의 모양은 왼쪽 위, 오른쪽 아래 그래프가 되고 –1을 기준으로 오른쪽으로 가보면 오른쪽 위, 왼쪽 아래 그래프의 모양이 됩니다 . 지금은 변화된 모양에 대해 살펴보았습니다. 왼쪽 오른쪽 슬라이더를 이동하면서 변하지 않는 것을 찾아보았나요? 선생님은 눈에 딱 들어오는게 있는데요. y절편을 봐볼까요? y절편은 항상 –1이라는 사실을 알 수 있고 유리함수는 두 점근선이 존재합니다. 두 점근선의 변화를 살펴보도록 할게요. 가로 점근선은 a에 따라서 변하지만 세로 점근선 x=2는 변하지 않는 것을 확인할 수 있었습니다. 앞에서는 지오지브라를 이용하여 확인을 해보았습니다.
두 번째로는 b에 대한 슬라이더를 좌우로 움직이면서 b의 값에 따른 함수 y=(x+b)/(x-2)의 그래프의 모양의 변화를 확인해보자. b의 슬라이더를 왼쪽, 오른쪽으로 이동했을 때 특별한 경우가 있습니다. b=-2가 되면 이라는 직선이 됩니다. -2를 기준으로 왼쪽으로 가면 왼쪽 위, 오른쪽 아래의 그래프 모양이 되고 –2를 기준으로 오른쪽으로 이동하면 오른쪽 위, 왼쪽 아래 그래프 모양이 됩니다. 또 변하지 않는 것은 두 점근선을 변하지 않는 것을 확인할 수 있습니다. c에 대한 슬라이더를 좌우로 움직이면서 c의 값에 따른 함수 y=(x+2)/(cx-2)의 그래프의 모양의 변화를 확인해보자. c를 좌우로 움직이면서 그래프의 모양을 확인해 보면 c는 특별한 것 같아요. 그 전보다 그래프의 모양이 더 역동적으로 움직이는 것 같다. 특별한 경우를 찾아볼까요? c=-1인 경우 y=-1인 직선이 됩니다. 또 c=0일 경우 x절편이 -2, y절편이 -1인 직선 y=-(1/2)x-1인 직선이 됩니다. -1을 기준으로 오른쪽으로 가면 오른쪽 위, 왼쪽 아래의 그래프의 모양이 됩니다. 왼쪽으로 가면 왼쪽 위, 오른쪽 아래 그래프의 모양이 됨을 확인할 수 있습니다. 그런데 유리함수의 그래프가 하나만 보이는 것처럼 보이는데 축소를 하면 다른 그래프가 숨어져 있는 것을 확인할 수 있습니다. c가 변함에 따라 변하지 않는 것은 x절편 -2, y절편 -1을 자세히 보면 변하지 않는 것을 확인할 수 있습니다.
마지막으로 d에 대한 슬라이더를 좌우로 움직이면서 d의 값에 따른 함수 y=(x+2)/(x+d)의 그래프의 모양의 변화를 확인해보자. 특별한 경우는 d=2인 y=1경우 이라는 직선이 되고 d=2를 기준으로 왼쪽으로 가면 오른쪽 위, 왼쪽 아래 그래프 모양이 되고 오른쪽으로 가면 왼쪽 위, 오른쪽 아래 그래프의 모양이 됩니다. 또한 변하지 않는 것은 가로 점근선 y=1은 변하지 않는 것을 알수 있고 x절편 -2도 변하지 않습니다.

첫 번째로 에서 의 값을 변화시킬 때 그래프가 어떻게 변하는지 확인해보겠습니다. 의 슬라이더를 좌우로 움직여보면 가 양수일 경우 오른쪽으로 뻗어나가는 그래프가 되고 가 음수일때는 왼쪽으로 뻗어나가는 그래프가 됩니다. 가 오른쪽으로 이동할 때 축으로 멀어지는 것을 알 수 있었고 마찬가지로 가 왼쪽으로 이동할때도 축과 멀어지는 것을 알 수 있었습니다.

두 번째로 a=1일 때 또는 c의 값을 변화시키면 그래프가 어떻게 되는지 알아보겠습니다. 우선 b의 값을 변화시켜주면 이 그래프의 모양은 변하지 않고 왼쪽, 오른쪽으로만 이동하는 것을 알 수 있습니다. b의 값이 커지게 되면 왼쪽으로 그래프가 이동하고 b의 값이 작아지면 오른쪽으로 그래프가 이동하는 것을 알 수 있습니다. 이제 c의 값을 변화시켜주면 이때 그래프의 모양은 변하지 않고 위, 아래로 이동하는 것을 알 수 있습니다. c의 값을 오른쪽으로 보내면 그래프는 y축의 위의 방향으로 이동하고 c의 값을 왼쪽으로 보내면 그래프는 y축의 아랫방향으로 이동하는 것을 알 수 있습니다. 마지막으로는 무리함수 y=√(ax+b)+c의 그래프가 오른쪽 그림 같을 때, a, b, c의 부호를 예측해보고 지오지브라를 이용하여 확인해보자. 그래프의 모양을 보니 왼쪽으로 뻗어 나가는 것을 보니 a의 부호를 왼쪽으로 바꿔줍니다. 시작부분이 왼쪽에 있으므로 b의 값을 음수로 바꿔줍니다. 또한 시작부분이 x축 아래부분에 있으므로 c의 부호도 음수로 만들어 줍니다.

지금까지 유리함수와 무리함수의 그래프에 대해서 알아보았습니다. 수학자 클라인은 ‘함수개념은 단순히 하나의 수학적 방법이 아니라 수학적 사고의 심장이자 혼이다’라는 명언을 남겼는데요..이렇듯 함수는 수학적 사고의 심장이라고 할 정도로 중요하다고 할 수 있습니다. 앞으로 많은 함수를 배우게 될텐데 지금처럼 함수의 그래프를 잘 이해한다면 함수가 어렵다고 느끼지지 않을겁니다. 이상 오늘 수업을 마치도록 하겠습니다.