안녕하세요. 여러분, 여러분은 미분을 이용해서 함수의 증가와 감소 극대 극소를 알고 이를 이용해서 삼차함수의 그래프를 그리는 방법에 대해서 공부 하셨을 겁니다. 오늘은 그에 이어서 다양한 삼차함수 그래프의 성질을 알아볼건데요. 이를 알고 계시면 여러분이 문제를 해결하는데 도움이 많이 될 수 있을 것입니다. 그러면 지금부터 삼차함수 그래프 에 성질을 알아보도록 하겠습니다.

삼차함수 그래프 성질을 이야기하기 전에 우리는 3차 함수를 미분을 하게 되면 이차함수가 된다라는 것을 알고 있죠. 그러면 그 이차함수는 다시 미분을 하게 되면 일차 함수가 된다라는 것도 알고 계실 겁니다. 그때 이 일차함수 는 X축과 반드시 한 점에서 만나게 되는데요. 이점은 삼차함수의 위로 볼록과 아래로 블록이 바뀌는 지점으로 '변곡점' 이라고 부릅니다. 변곡점은 f′(x)를 다시 한 번 미분해서 구하게 되므로 f′(x)에 접선의 기울기가 0이 되는 점. 즉, 이차함수의 대칭축이 되는 지점이 변곡점을 같은 지점이라는 것을 꼭 알아두시고 지금부터 삼각함수 그래프 성질에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

앞선 강의, 삼차함수 그래프를 그리면서 우리는 두 가지 성질을 살펴봤었는데요. 다시 한번 보시면 삼차함수의 그래프는 변곡점에 대해서 점대칭이라는 성질을 가지고 있다는 것을 살펴보았구요. 두 번째 성질은 삼차함수의 그래프는 합동인 8의 평행사변형으로 분할할 수 있다는 것까지 증명을 해 보았습니다. 혹시 이 증명에 대해서 좀 더 궁금하시다면 앞선 강의, 3차 함수의 그래프 강의를 들어 보시면 자세하게 설명되어 있습니다.

그러면 이거 말고 다른 삼차함수 그래프 성질은 없을까요? 한번 스트레칭을 하시고 지금부터 삼차함수 그래프에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

오늘 알아볼 첫 번째 삼차함수 그래프 성질은 변곡점을 지나는 직선 과 삼차함수의 그래프의 교점 사이에는 일정한 비를 이룬다는 것인데요. 그 일정한 비는 바로 '1대 루트 3'의 비를 이룹니다. 이것의 이유에 대해서 지금부터 해 볼 건데요.

여러분이 잘 아시다시피 함수의 그래프를 평행이동 하여도 그래프의 모양은 변하지 않습니다. 그래서 우리는 증명을 좀 더 쉽게하기 위해서 변곡점을 원점으로 평행 이동한 함수를 놓고 지금 증명해 보도록 하겠습니다. 그 함수를 g(x) 라고 할 때 이 함수를 미분한 것이 변곡점이 원점이기 때문에 x=0에 대칭이고, g(0)=0이라고 해 줄 수 있게 되구요. 그리고 g′(x)의 그래프를 그려보시면 x=0에 대칭이기 때문에 X축과 만나는 두 점을 이렇게 -k, k 로 표현해 줄 수가 있게 됩니다.

어떤 함수를 미분하면 이 식이 나오게 되는지에 대해서 생각을 해 보도록 하겠습니다.

[화면풀이]
이렇게 인수분해를 하게 되면 원점을 지나고, 마이너스 루트 3k하고 루트 3k 위에서 축과 만나는 그래프의 개형을 그려 줄 수가 있겠습니다. 그렇게 된다면 여기서 알 수 있겠네요. 바로 0부터 k까지의 비와 0부터 루트 3k까지의 비가 '1 대 루트3'이 된다는 것을 금방 알 수가 있겠죠. 이와 같은 방법을 반대쪽에서 쓴다면 얘는 여기에 '1대 그리고 루트3'이다 라고도 표현을 해줄 수가 있겠습니다. 이렇게 삼차함수의 변곡점을 지나는 직선과 삼차함수와의 교점 사이의 비는 '1대 루트3' 이라는 것이 증명되었습니다.

삼차함수 그래프 두 번째 성질은 삼차함수의 그래프에서 삼차함수의 두 극점을 지나는 직선은 언제나 변곡점을 지난다는 것입니다.

이것을 그림으로 살펴보시면 이렇게 극대와 극소를 연결한 직선은 반드시 변곡점을 지나게 되는데요. 이것은 앞에서 얘기했던 것을 그대로 이용해 주시면 삼차함수는 변곡점에서 점대칭이 되겠습니다. 그렇기 때문에 극대와 극소의 중점에 변곡점이 있게 되고요. 그 변곡점은 한 직선 위에 놓일 수 밖에 없게 됨을 알 수가 있습니다. 이와 비슷한 성질을 가지고 있는 또 다른 삼차함수 그래프의 성질을 볼 텐데요.

삼차 함수의 그래프가 x=α,β에서 극값을 갖고, 변곡점의 좌표가 (m, f(m)) 일 때, 바로 극댓값과 극솟값의 합은 변곡점의 함수값에 두 개랑 같다라는 것을 증명해 보일 것입니다 그리고 앞에서 얘기했던 것처럼 변곡점은 극점에 중점에 놓이기 때문에 2f(α+β/2)로도 표현할 수 있음을 지금부터 증명해 보도록 하겠습니다.

모든 삼차함수의 그래프는 변곡점에 대칭이라는 것은 앞에서 얘기를 했고요. 그렇기 때문에 두 극점을 양끝으로 하는 선분의 중점은 바로 변곡점이 된다라는 것도 앞에서 보았습니다. 그때 변곡점의 좌표가 (m, f(m)) 그리고 두 극점에 좌표가 (α, f(α)), (β,f(β))라고 할 때 우리는 두 극점을 양끝으로 하는 선분의 중점의 좌표. 즉, (α+β/2, f(α)+f(β)/2) 구할 수 있게 되고요. 지금 얘기했던 두 극점을 양끝으로 하는 선분의 중점이 변곡점이랑 같기 때문에 '두 극점을 양 끝점으로 하는 선분의 중점은 변곡점과 같다'라고 표현을 해 줄 수가 있게 됩니다.

그렇다면 앞서 썼던 이 내용을 통해서 (α+β)/2는 m과 같고, (f(α)+f(β))/2는 f(m)과 같음을 알 수가 있게 되는데요, 여기에서 우리는 f(α)+f(β)=2f(m)=2f((α+β)/2) 이것이 이용해서 지금부터 문제를 해결해 보도록 하겠습니다.

관련 문제인데요.
흔히 볼 수 있는 문제입니다.
[문제] 삼차함수 f(x)=x³+3x²+x+d의 극댓값과 극솟값의 합이 8이 되도록 하는 d의 값을 구하시오.
우리가 보통 이 문제를 해결하기 위해서는 극대와 극소를 가지는 x좌표를 먼저 구할 것이고,
그 값들을 구해서 두 개 합이 8이 되기 때문에 d을 구해 줄 수가 있겠습니다.
그러면 여기에서는 앞서 배운 내용을 이용해 볼 텐데요.
함수 f(x)가 x=α+β에서 극값을 갖는다고 하면 f(x)=3x²+6x+1=0의 두 근이 α+β이다.
α+β=-6/3=-2
f(α)+f(β)=2f((α+β)/2)=2f(-1)
2f(-1)=2(1+d)=8
∴d=3
이렇게 문제를 해결해 줄 수가 있게 됩니다.

네 번째, 삼차함수 그래프의 성질은 삼차함수의 그래프는 두 극점을 지나는 직선의 기울기가 변곡점에 접선의 기울기에 3분의 2가 항상 된다는 것인데요. 그림으로 한 번 살펴보시면 이렇게 두 극점을 잇는 직선의 기울기는 변곡점에서의 접선의 기울기의 3분의 2라는 것입니다. 지금부터 이 내용을 증명해 보도록 하겠습니다.

앞에서 얘기했던 것처럼 여기에서도 기존의 함수를 변곡점이 원점이 되도록 먼저 평행이동을 시켜 보도록 하겠습니다. 이렇게 변곡점을 원점으로 평행 이동한 함수를 g(x) 라고 해 볼게요. 그렇다면 g(x)=ax³+cx 라고 표현을 해 줄 수가 있게 됩니다. 앞에서 살펴봤지만 이렇게 변곡점을 원점으로 하게 되면 변곡점에 대해서 대칭인 함수가 나오게 될 거고요. 그 때 이 함수들은 x²항을 같지 않는 g(x)=ax³+cx 의 형태로 표현해 줄 수 있음을 알 수가 있었습니다. 그렇다면 이를 한 번 더 미분한 함수 3ax²+c 라고 표현할 수 있는데요. 이것은 바로 이 그림에서처럼 α, β에서 극값을 가진다라고 표현했기 때문에.
g′(α)=g′(β)=0
그렇기 때문에 g′(x)=3ax²+c=0의 두 실근이 α,β가 됨을 알 수가 있습니다.
근과 계수와의 관계에 의해서 여기서 두 근의 합은 0 그리고 두 근의 곱은 c/3a 될 건데요.

이때 두 극점을 지나는 직선의 기울기는
(g(β)-g(α))/(β-α)=(aβ³+cβ-aα³-cα)/(β-α)이고 이를 정리하면
= -aαβ+c (∵α+β=0)
=2/3c (∵αβ=c/3a)
여기에서 또, 0에서 변곡점을 가졌기 때문에 g´(0)=c라는 것을 볼 수 있는데요.
두 개의 관계를 살펴보시면 두 극점을 지나는 직선의 기울기=2/3 × (변곡점에 접하는 접선의 기울기) 라고 할 수 있겠네요. 자 여기까지 여러분 이해되셨나요?

두 극점을 지나는 직선의 기울기가 변곡점에 접선의 기울기 에 3분의 2라는 것을 이용해서 관련 문제를 해결해 보도록 하겠습니다.
[문제] 삼차함수
f(x)=ax³ + bx² + cx +d가 x=-1과 x=3에서 각각 극값 와 을 가지는 삼차함수 f(x)를 구하시오.

[일반적인 풀이]
f´(-1)=f´(3)=0, f(1)=2, f(3)=-6 연립하여 미정 계수 a, b, c, d의 값을 구하는 방법

[다른 풀이]
f´(x)=3ax² + 2bx + c 이고, x=-1과 x=3에서 극값을 가지므로
f´(x)=3a(x+1)(x-3)
=3ax²-6ax-9a
또한, 변곡점은 두 극점의 중점이므로 변곡점의 x좌표는 (–1+3)/2 = 1
(두 극점을 연결한 직선의 기울기)
-2/3 * (변곡점의 접선의 기울기)
(f(3)-f(-1))/3-(-1)= (-6-2)/3-(-1)=-2
변곡점에서의 접선의 기울기
f´(1) = 3/2 * (-2) = -3
f´(1) = 3a * 2 * (-2) = -3
∴a=1/4
f´(x)= (3/4)x² - (6/4)x – 9/4
f(x)= (1/4)x³ - (3/4)x² – (9/4)x + d
f(-1)=2이므로 d=19/4
∴f(x)= (1/4)x³ - (3/4)x² – (9/4)x + 19/4

오늘의 명언은 수학을 사랑한 물리학자 알버트 아인슈타인의 말입니다. 창조의 원리는 수학 속에 존재한다. 다른 학문을 탐구하는데 수학이 중요한 역할을 한다는 것을 아인슈타인은 이미 알고 있었던 것 같습니다. 여러분도 이런 수학을 즐겁게 공부하셨으면 좋겠습니다. 감사합니다.