안녕하세요. 여러분 함수의 증가와 감소 극대와 극소에 대해서 여러분은 지금까지 공부 하셨을텐데요. 이를 이용해서 삼차함수의 그래프를 그려보고 그것의 성질에 대해서 한번 알아보도록 하겠습니다.

오늘 공부할 내용을 살펴보시면
첫 번째, 도함수를 이용한 그래프의 개형
두 번째, 도함수를 이용한 실근의 개수 판별
세 번째, 삼차함수 그래프의 성질입니다.
우리는 도함수를 이용한 그래프의 개형을 수업 시간에 선생님과 자세히 다루었기 때문에 이것은 복습을 하는 정도로 넘어가고 두 번째, 세 번째 내용에 중점을 둬서 공부를 해볼거에요.

도함수를 이용한 그래프의 개형을 살펴보면 최고차항의 계수가 0보다 큰 삼차 함수 f(x)의 도함수 y=f′(x)의 그래프와 X축에 위치관계 따라서 우리는 삼차함수의 그래프의 개형을 그려 줄 수가 있게 되는데요. 제일 처음에 f′(x) 그래프와 X축이 서로 다른 두 점에서 만난 경우 f′(x)의 그래프의 개형은 이런 식으로 표현 해 줄 수가 있겠죠!
서로 다른 두 점에서 만나게 되고 그렇기 때문에 α보다 작을 때 f′(x) > 0 보다 α와 β사이에서는 0보다 작고 β보다 클 때에는 f′(x)>0 되겠죠. 이를 이용해서 f(x)의 그래프를 그려주시면 α보다 작을 때는 증가하고 α와 β사이에서는 감소하고 β보다 클 때는 증가하는 형태의 그래프를 그려 줄 수가 있게 됩니다.
두 번째 f(x)의 그래프와 x축이 한 점에서 만나게 될 경우. 즉, 접할 경우를 살펴보시면 한 점에서 접하게 f′(x)의 그래프를 그려 줄 수 있는데요. 이것을 이용해서 f(x)의 그래프를 그려주시면 α를 기준으로 해서 계속 증가하는 모양의 그래프를 그려 줄 수가 있게 됩니다.

세 번째, f′(x)그래프와 x축이 만나지 않을 경우. 즉, X 축 위에 f`(x)의 그래프가 그려질 경우에는 f(x)의 그래프가 계속 증가하는 이런 꼴의 그래프가 된다는 사실을 여러분이 알고 있을 거예요. 이렇게 복습을 해봤는데요. 이 그래프의 개형을 이용해서 우리는 부등식과 그리고 방정식을 해결을 해 볼 겁니다. 그때 방정식의 실근을 개수를 판별하는 것을 좀 더 빠르게 해결할 수 있는데요. 그 방법에 대해서 조금 더 알아보도록 하겠습니다.

삼차함수의 극값에 부호에 따라 삼차방정식의 실근의 개수를 구하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 최고차항의 계수가 0보다 큰 삼차방정식을 삼차함수 f(x)로 놓겠습니다. 이때 이 3차 함수를 미분한 y=f′(X)의 그래프가 이렇게 표현된다고 했을 때 α에서 증가하다 감소하기 때문에 극대 β에서 감소하다 증가하기 때문에 극소를 갖는다는 것을 알게 되겠죠. 그때 f(α)>0보다 크고 f(β)<0보다 작게 되었다고 할 때 함수 f는 모든 실수에서 연속인 되기 때문에 이것을 그래프의 개형을 그려주게 된다면 X축과 서로 다른 세 점에서 만남을 알 수가 있게 됩니다. 이렇듯 극대와 극소의 부호가 다를 경우 즉 두 개의 곱이 0 보다 작게 되는 경우는 서로 다른 세 실근을 가짐을 알 수가 있게 됩니다.

두 번째, 극댓값>0 이고, 극솟값<0 인 경우 함수 f(x)의 그래프를 그리게 된다면 X 축과 서로 다른 두 점에서 만남을 알 수가 있게 됩니다. x=β에서 X축과 접하게 되는데요. 이때 서로 다른 두 실근을 가짐을 알 수가 있게 됩니다. 또한 극댓값=0이고 극솟값<0인 경우도 그래프를 그려 주게 된다면 이렇게 X축과 서로 다른 두 점에서 만남을 알 수가 있게 됩니다. 즉 극댓값과 극솟값 중 하나가 0이 되면 두개의 곱이 0이 되기 때문에 극댓값×극솟값=0 일때 서로 다른 두 실근을 갖게 됩니다.

세 번째, 극댓값<0 이고 극솟값<0 경우 그래프를 그려 주면 X 축과 한 점에서 만남을 알 수가 있게 됩니다. 즉, 실근을 계수가 한 개가 된다고 얘기해 줄 수가 있게 되는데요, 극댓값과 극솟값의 부호가 같게 된다면 X축과 한 점에서 만남을 알 수가 있게 됩니다. 이것은 극댓값>0, 극솟값>0 인 경우에도 그래프를 그려 주면 X축과 한 점에서 만남을 알 수가 있게 됩니다. 즉 두 개의 부호가 같을 때, 극댓값×극솟값>0인 경우에는 바로 실근의 개수가 한 개 임을 알 수 있게 됩니다. 이것을 한번 정리해 보도록 하겠습니다.

도함수를 이용해서 극대와 극소가 있는 지점을 찾고 이를 이용해서 극값의 부호를 보았을 때
극댓값×극솟값<0
그래프의 개형은 f(α)>0, f(β)<0보다 작게 되므로 바로 실근의 개수가 세 개가 된다는 사실을 알 수가 있고, 극대값과 극솟값 중 하나가 0이 된다면 그래프의 개형은 이렇게 두 가지로 표현해 질 수가 있는데요. 극대 또는 극소에서 0아 되기 때문에 '실근의 개수는 두 개가 된다'라는 것을 알 수가 있습니다. 세 번째, 극댓값×극솟값>0일때, 즉, 두 개의 부호가 같을 때는 그래프의 개형을 이렇게 두 개 다 양수일 때 또는 두 개 다 음수일 때로 정리할 수 있게 되는데요. 그때 실근의 개수는 하나가 됨을 알 수가 있습니다. 이렇듯 극대와 극소가 존재한다면 우리는 그래프의 개형을 드리지 않고 극값의 부호만을 이용해서 삼차함수의 실근의 개수를 판별할 수 있게 됩니다.

그리고 삼차함수의 도함수의 f`(x)에 대해서 이차방정식 f`(x)=0이 중근 또는 서로 다른 두 허근을 가질 때 즉 X축과 α에서 접하거나 또는 X축과 만나지 않을 때는 극값이 존재하지 않게 되죠. 그럴 경우에 그래프는 앞에서 배웠듯이 계속 증가하는 모양의 그래프를 그려 줄 수 있기 때문에 한 개의 실근만을 가지는 경우가 됨을 알 수가 있습니다. 이를 다시 한번 정리하시면 삼차함수의 극대 극소가 있는 경우 극댓값과 극솟값의 부호를 통해서 실근의 개수를 판별할 수가 있게 되고요. 약 극값이 존재하지 않는 경우 실근의 개수는 무조건 1개라는 것을 알 수가 있게 됩니다.

지금부터는 삼차함수 그래프의 성질에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 삼차 함수 f(x)의 그래프는 이런 개형을 그려 줄 수가 있게 되는데요. 이를 한 번 미분하면 삼차함수 늘 이런 이차함수의 꼴을 띠게 되고 이차함수를 다시 한번 또 미분을 하게 된다면 일차함수가 되겠죠. 일차함수는 직선의 형태를 띠기 때문에 반드시 X축과 한 점에서 만나게 되는데요. 변곡점 이라고 부릅니다. 이것은 뒤에 미적분에서 배우게 될 텐데요. 우리 변곡 이라는 말을 '변한다' '곡선이 변한다' 이런 의미를 가지고 있고 수학에서는 위로 볼록과 아래로 볼록이 바뀌는 점으로 3차 함수에서는 미분은 몇 번 했죠? 2번 미분했을 때 0이 되는 지점 0이 되는 지점 일을 알고 계시기 바랍니다. 이 변곡점은 삼차함수의 그래프의 성질을 얘기하는데 아주 중요한 지점이 되기 때문에 잘 알고 계시면 좋겠습니다. 그러면 지금부터 진짜 삼차함수 그래프의 성질을 알아보도록 하겠습니다.

그 첫 번째, 삼차함수의 그래프는 바로 변곡점에 대해서 대칭이다. 지금 그림처럼 변곡점에 대해서 삼차 함수는 이쪽 파란 부분과 그리고 이 빨간 부분이 서로 대칭이 되는 모양입니다. 과연 진짜 그런지 같이 한번 증명을 해 보도록 하겠습니다.

증명을 해 보면, 삼차 함수 f(x)를 미분했을 때 f′(x)라고 했을 때 한 번 더 미분을 하게 된다면 6ax+2b=0이 되고 0이 되는 지점. 즉, 앞에서 얘기했던 변곡점을 한번 찾아 보겠습니다. 변곡점을 바로 -b/3a임을 알 수가 있게 되는데요. 좌표로 표현하면 변곡점의 좌표는 (-b/3a, f(-b/3a))라고 표현을 해 줄 수가 있게 되겠죠. 계산의 편의를 위해서 우리는 f(x)의 그래프를 평행이동 할 건데요. 그래프를 평행이동 했을 때 그래프의 모양은 절대로 변하지 않으므로 대칭 관계는 변하지 않습니다. 그래서 함수 f(x)를 X축의 방향으로 b/3a만큼, Y축 방향으로 -f(-b/3a)만큼 평행이동 해 보도록 하겠습니다. 이것이 의미하는 바는 변곡점이 X 축의 방향으로 b/3a 만큼 이동했기 때문에 X 좌표는 0이다. Y 축의 방향으로도 마찬가지로 0을 만들어서 변곡점의 좌표를 (0,0)으로 이동 시켰고 그때 그 함수를 g(x)라고 해 보도록 하겠습니다. g(x)라고 했을 때, g′(x)는 x=0에 대칭이고 변곡점에 좌표과 (0,0)이니까 g(0)= 0이라는 것을 알 수 있습니다.

즉 g′(x)=3ax²+p 표현을 해 줄 수가 있고 이것에 그래프를 그려주시면 x=0에 대칭이 되는 그래프를 그려 줄 수가 있게 됩니다. 이 그래프는g(0)=0이기 때문에 g(x)의 그래프를 그려주게 되면 3ax²은 무엇을 미분해서 나왔다고 할 수 있나면 그렇죠? ax³을 미분했을테구요, 이때, 상수항 p는 px를 미분해서 나오게 되겠죠. 그리고g(0)=0이기 때문에 g(x)=ax³+px 표현을 해 줄 수가 있고 이 그래프를 그려 주시게 되면 이렇게 그려 줄 수가 있게 됩니다. 이 모양을 보시면 (0,0)에 대칭이 되는 것을 직관적으로 볼 수 있을 텐데요. 이를 증명해 보면, 즉 g(-x)=-g(x) 이것이 의미하는 것을 g(-x)=-g(x) 라는 것을 나타내기 때문에 바로 g(x)의 그래프가 원점대칭이라는 것을 의미하고 g(x)의 그래프가 원점 대칭이니까 함수 f(x)의 그래프는 바로 변곡점에 대해서 대칭임을 얘기해 줄 수가 있게 됩니다.
여기까지 이해 되셨나요?
다시 한번 정리하면, 삼차 함수 f(x)의 그래프는 변곡점에 대해서 점대칭 된다는 것을 알 수 있습니다.

두 번째, 삼차함수 그래프의 성질은 삼차함수의 그래프는 합동인 8개의 평행사변형으로 분할 할 수 있다. 즉, 아래 그림처럼 여덟 개의 합동인 사각형으로 분할을 할 수가 있게 됐는데요, 이것도 같이 한번 증명해 보도록 하겠습니다.

아까 했던 g(x)를 가지고 와서 변곡점을 원점으로 평행이동한 함수 g(x)=ax³+px 라 하겠습니다. 그 때 x=α 에서 극댓값을 가진다고 하면 그래프는 이렇게 표현을 해 줄 수가 있게 되고요. 이 극대점 이것에 접하는 직선을 이렇게 y=g(α)라 고 표현을 해 준다면 얘는 α에서는 접하고 그리고 또 다른 한 점에서 만나는 이런 직선이 됨을 알 수가 있습니다. 이 때 이 지점을 γ하고 해 보도록 하겠습니다. 그렇게 된다면 얘는 g(x)의 그래프와 y=g(α)의 그래프의 교점이 두 개가 생기게 되는데요. 이것을 방정식으로 표현을 해서 하나는 방정식으로 표현을 하게 된다면 이것을 우리는 접하고, 그리고 한 점에서 만나기 때문에
[화면 풀이]
즉, 삼차방정식의 세 근의 합이 x=α에서 중근을 가지기 때문에 α+α+γ는 근과 계수와의 관계에 의해서 X 제곱의 계수가 g(α)는 상수이기 때문에 0이 되므로 α+α+γ=0이라고 표현을 해 줄 수가 있게 되구요. 그래서 γ=-2α 그림으로 표현하면 γ=-2α가 되기 때문에 길이가 |α| 여기가 |2α|가 되기 때문에 1:2라고 표현을 해 줄 수가 있게 되겠죠. 이와 같은 방법으로 극소에서도 얘기를 해 준다면,

삼차함수가 변곡점에 대해서 대칭이기 때문에 이렇게 β에 대해서 (β,g(β))에서 접하는 직선을 그려주면 또 다른 한 점에서 만나게 되고 그 때 비의 관계는 1:2가 됨을 알 수가 있습니다. 앞에서 했던 내용을 가지고 와서 두 개를 합쳐서 이렇게 표현을 해 줄 수가 있게 되는데요. 삼차함수 앞에서 했던 것처럼 바로 변곡점에 대해서 서로 대칭이기 때문에 두 길이의 비가 서로 같고요. 1:1 되겠죠. 그리고 얘가 1:2이기 때문에 결국은 1:1:1 마찬가지로 여기도 1이 된다는 사실을 알 수가 있게 되고요. 변곡점에서 대칭이 때문에 두 높이가 서로 같아서 두 길이도 서로 같게 됨을 알 수가 있습니다. 다시 말하면 이렇게 '여덟 개의 합동인 사각형으로 분할' 될 수 있음을 얘기해 줄 수가 있게 됩니다. 이것은 삼차함수와 한 점에서 접하고 다른 점에서 만나는 접선에서도 성립함을 여러분이 볼 수 있는데요. 지금처럼 X축과 평행한 접선이 아니라 삼차함수 하고 한 점에서 접하는 직선에서도 우리는 이 성질이 성립함을 알 수가 있게 되니까 여러분이 증명을 해 보시기 바랍니다. 그럼 지금까지 우리가 배운 내용을 가지고 기출문제를 한번 해결해 보도록 하겠습니다.

2014학년도 9월 평가원 문제인데요.
[기출문제] 곡선 y = x³ + 2x + 7 위의 점 P(-1, 4)에서의 접선이 점 P가 아닌 점 (a, b)에서 곡선과 만난다. a+b의 값을 구하시오.
이 문제를 푸는 방법은 여러가지가 있는데 선생님은 근과 계수와의 관계를 이용해 보도록 하겠습니다. 근과 계수와의 관계를 이용해서 점 P(-1, 4)에서의 접선의 방정식을 와 y=mx+n이라고 두면 이것은 직선과 곡선이 만나는 지점을 찾는 것이기 때문에 곡선과 접선이 서로 같은 지점을 찾아 주면 되겠죠.
이것의 해는 X =-1
그리고 또 다른 해 하나가 나오게 됨을 알 수가 있겠습니다. 이 때, 근과 계수와의 관계를 이용한다면 한쪽으로 이항시켜서 정리해서 세근의 합이 근과 계수와의 관계로 봤을 때 x²의 계수가 0이기 때문에 0임을 알 수가 있게 되고요. 그래서 a는 얼마인가?
a=2
a=2를 대입하면 b의 값도 구할 수 있게 되겠죠. 어렵게 접선의 방정식을 따로 구하지 않고도 쉽게 문제를 해결해 줄 수 있습니다.

오늘 수학자 명언 최초의 여성수학자로 불리는 히파티아의 말인데요. 생각할 수 있는 권리를 누리자. 왜냐하면 심지어 틀린 생각이라도 생각을 하지 않은 것보다 낫기 때문이다. 앞에서 배웠던 3차함수의 성질을 생각하다 보면 더 많은 재미있는 성질들을 발견할 텐데요. 심지어 그 생각에 틀리더라도 삼차 함수에 대해서 더 깊이 그리고 넓게 생각할 수 있는 기회를 가지기 때문에 여러분에게는 큰 도움이 될 것이라고 생각합니다. 자 여러분 수학에 대해서 좀 더 깊게 생각하고 공부하는 그런 학생이 되었으면 좋겠습니다.
다음 시간에 만나요