<오프닝>
안녕하세요 6학년 친구들. 오늘 공부할 단원은 6단원 직육면체의 부피와 겉넓이입니다. 5학년에서 공부하였던 평면도형의 넓이를 이번 6단원에서는 입체도형인 직육면체의 겉넓이와 부피로 확산하여 배워보았을 거예요. 그럼 선생님과 함께 문제를 풀어보며 문제해결의 힘을 키워봅시다.
 
<1번 문제>
1번 문제입니다. 문장을 보고 맞으면 O표, 틀리면 X표 하고 틀린 부분을 바르게 고쳐 보세요. 1번 문제는 부피의 단위를 물어보는 문제입니다. 길이의 단위가 cm인지 m인지에 따라 부피의 단위도 달라지는 데요, 그림과 함께 부피의 단위와 부피 단위 간의 관계를 정리해보고 오도록 해요. 생각이 반짝!
 
<생각이 반짝>
먼저 그림에서처럼 한 모서리의 길이가 1cm인 정육면체의 부피를 우리는 ‘1 세제곱센티미터’라고 읽고 이렇게 쓴답니다. 즉, 위의 설명은 옳은 설명이 되겠죠? 실제 크기는 사진에서처럼 우리 손가락 한 마디 정도의 크기가 될 거예요. 다음은 그림과 같이 한 모서리가 1m인 정육면체의 부피, 1m x 1m x 1m로, 그 값은 ‘1 세제곱미터’라고 읽고 단위는 이렇게 쓸 수가 있습니다. 그럼 위의 문장도 옳은 설명이므로 동그라미가 되겠죠. 다음은 1㎥와 1㎤의 관계에 관한 내용입니다. 한 모서리의 길이가 1m인 정육면체의 부피 1㎥에는 1㎤인 쌓기나무가 몇 개 필요할까요? 1m는 100cm이므로, 한 모서리에 100개씩 들어가겠네요. 가로에 100개, 세로에 100개씩이므로 한 층에는 100 x 100을 하면 10000개가 필요합니다. 그렇게 100층을 쌓아놓은 것이므로 곱하기 100을 더 해준다면 1000000개가 필요하다는 것을 알 수가 있네요. 그럼 위의 설명을 보면 ‘한 모서리의 길이가 1m인 정육면체를 쌓는 데 부피가 1㎤인 쌓기나무가 10000개가 필요합니다.’라고 되어있는 설명은 잘못되었습니다. 10000개가 아니라 1000000개로 고쳐주어야 되겠죠?
 
<2번 문제>
2번 문제입니다. 전개도를 이용하여 직육면체 모양의 상자를 만들려고 합니다. 상자의 부피와 겉넓이를 구해 보세요. 2번 문제는 부피와 겉넓이를 구해보는 문제인데요, 이번 단원의 핵심 개념이죠. 우리 함께 생각이 반짝에서 공부하고 문제를 풀어보도록 합시다. 생각이 반짝!
 
<생각이 반짝>
부피 구하는 방법. 먼저 부피란, 크기를 가진 물건이 공간에서 차지하는 크기로, 단위부피의 개수를 의미합니다. 즉, 화면에 보이는 직육면체의 부피를 함께 구해보자면 먼저 1㎤의 부피의 쌓기나무가 몇 개 사용되었는지를 통해 구해볼 수 있어요. 우선 쌓기나무의 개수를 하나씩 세어볼 수 있겠지만, 크기가 커진다면 다소 번거롭고 그 결과가 정확하지 않겠죠? 그럼 우리 곱셈을 활용해봅시다. 밑면의 가로에 6개가 있고, 세로에 4개이므로 6개씩 네 줄이 쌓인 것이므로 밑면 한 층에는 6 곱하기 4. 즉 24개가 사용되었어요. 24개씩 5층이 쌓여있으므로 즉 24 곱하기 5이니 120개의 쌓기나무가 사용되었고, 즉 이 직육면체의 부피는 120㎤라고 할 수가 있습니다. 정리를 한다면, 직육면체의 부피를 구하기 위해서 6 곱하기 4 곱하기 5를 계산하여 120이라고 구한 것처럼 가로, 세로, 높이를 곱하여주면 직육면체의 부피가 된답니다.
 
부피 구하는 방법을 알아보았으니 문제를 해결해봅시다. 상자의 부피는 몇 ㎤인가요? 전개도를 보고 직육면체의 가로, 세로, 높이의 길이를 각각 확인하여 그 값을 곱해주면 되겠는데요, 우선 밑면이 여기에 해당이 되겠습니다. 가로의 길이는 60cm, 세로의 길이는 30cm가 되겠어요. 그리고 옆면을 여기라고 본다면, 높이가 100cm임을 확인할 수가 있네요. 그럼 식을 세워서 부피를 구해볼까요? 가로가 60, 세로가 30, 그리고 높이가 100이므로 이렇게 식을 세울 수가 있구요, 계산을 해본다면 1800에 또 100을 곱해주어 180000㎤가 됩니다. 다음 문제입니다. 상자의 부피를 ㎥로 나타내어 보세요. 1㎥는 1000000㎤였다는 것을 기억하고 있죠? 즉, 180000㎤의 소수점을 6칸 옮겨주면 되겠어요. 하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 여섯. 이렇게 옮겨주면 소수점이 1 앞에 찍힌다는 것을 알 수가 있죠. 즉, 0,18㎥라고 정리할 수 있겠습니다. 이번에는 겉넓이를 풀어보는 문제로 넘어가야 되는데요, 겉넓이란 물체를 이루는 겉면의 넓이의 합을 말한답니다. 우리 수학 교과서에서는 겉넓이를 구하는 방법을 다양한 방법으로 알아보고 있는데요, 선생님과 배운 내용을 떠올리며 방법을 정리해보도록 합시다. 생각이 반짝!
 
<생각이 반짝>
겉넓이 구하는 방법을 함께 정리해 봅시다. 가장 먼저 떠올릴 수 있는 방법은 겉넓이라는 의미대로 겉을 둘러싼 모든 면의 넓이의 합을 구하면 되겠어요. ㉠부터 ㉥까지의 여섯 개의 면의 넓이를 구해 더해주는 방법입니다. 두 번째 방법입니다. 직육면체는 서로 마주보는 면들이 서로 합동이죠. 즉, 합동인 면이 세 쌍 있으므로 세 면의 넓이 ㉠, ㉡, ㉢을 구해 각각 두 배를 해준 뒤 서로 더해주는 방법입니다. 세 번째 방법은 두 번째 방법과 같은 원리인데, 계산 순서를 바꾸어 좀 더 간편하게 나타낸 방법이에요. 합동인 면이 세 쌍이므로 세면의 넓이 ㉠, ㉡, ㉢의 합을 구한 다음 곱하기 2, 두 배를 해주는 방법입니다. 네 번째 방법은 두 밑면의 넓이와 옆면의 넓이를 더하는 방법으로, ㉠이나 ㉥의 넓이를 ㉠하고 ㉤, ㉡, ㉢, ㉣을 하나의 커다란 직사각형으로 보고 넓이를 구한 뒤, 더해주는 방법이랍니다. 이렇게 여섯 개 면의 넓이를 모두 더해주는 방법 외에도 다양한 방법으로 직육면체의 겉넓이를 구할 수가 있는데요, 지금처럼 직육면체의 성질을 이용하면 조금 더 간편하게 구할 수 있어요. 그럼 그림 속 직육면체의 겉넓이를 함께 구해봅시다. 선생님은 합동인 면이 세 쌍이라는 성질을 이용하여 서로 다른 세 개의 면을 먼저 구하여 합한 다음 곱하기 2를 해주는 방법을 사용해보려고 합니다. 자, 먼저 서로 다른 세 개의 직사각형. 여기를 살펴볼게요. 이쪽의 넓이는 가로 60에 세로 30 이렇게 구할 수가 있구요, 두 번째 직사각형은 이쪽 면으로 보고 가로 60에 세로 100cm, 그리고 세 번째는 이쪽 면이 되겠습니다. 여기는 가로의 길이가 여기, 이 부분을 말하는데요, 이 쪽 모서리와 서로 만나는 부분이기 때문에 여기가 30이므로 여기도 30cm라는 걸 알 수가 있죠. 즉, 가로 30에 세로 100. 이렇게 세 개의 면의 넓이를 더해준 다음에 전체 두 배를 해주어야 합니다. 함께 계산을 해보도록 할까요? 1800이 되구요, 6000, 3000. 그리고 이것의 합에 곱하기 2. 합을 구하면 10800이 되죠. 거기에 곱하기 2. 즉, 21600. 단위는 ㎤가 된다는 것을 알 수가 있습니다.
 
<3번 문제>
3번 문제입니다. 정육면체 모양의 컨테이너입니다. 컨테이너의 부피와 겉넓이를 구해 보세요. 이번 문제는 정육면체의 부피와 겉넓이를 구해보는 문제입니다. 먼저 컨테이너의 부피부터 구해봅시다. ‘가로, 세로, 높이가 모두 같다.’라는 성질을 가진 이 정육면체는요, 한 모서리의 길이를 세 번 곱해주면 나오겠죠. 즉, 식으로 적어본다면 가로 4, 세로 4, 그리고 높이 4m. 이렇게 구해볼 수가 있구요. 계산을 하면, 64㎥. 이렇게 구해볼 수가 있겠습니다. 다음 문제는 ‘컨테이너의 부피를 ㎤로 나타내어 보세요.’입니다. 우리 ㎥는 몇 ㎤였었나요? 기억하고 있나요? 1000000㎤ 였었죠? 즉, 64에 0을 6개 붙여주면 이렇게 64000000㎤가 되겠습니다. 마지막 컨테이너의 겉넓이를 구해보도록 합시다. 정육면체의 겉넓이는요, 여섯 개의 면이 모두 합동이죠. 그러므로 면의 하나의 넓이를 구해주고 곱하기 6을 해주면 되겠네요. 식으로 정리를 해본다면 4 곱하기 4. 한 면의 넓이가 똑같이 6개가 있는 것이므로 4 곱하기 4 곱하기 6이 되구요. 계산을 해주면 4 4 16에 곱하기 6을 해주어 96㎡가 되겠습니다.
 
 
<4번 문제>
4번 문제입니다. 실제 부피에 가장 가까운 것을 찾아 이어 보세요. 이번 문제는 부피를 어림해보는 문제입니다. 생활 속 물건들의 부피를 같이 가늠해보고, 그 크기를 보기 중에 골라봅시다. 먼저 휴지 갑을 살펴보면, 그 가로, 세로, 높이를 대략 어림해봐야 해요. 선생님은 길이를 가늠할 때에 신체의 일부를 사용하는데요, 선생님은 손의 한 뼘의 길이가 대략 18cm더라구요. 한 뼘보다 작다, 또는 두 뼘이 조금 안된다 등을 통해 길이를 어느 정도 가늠할 수가 있었어요. 휴지 갑을 보면 가로가 두 뼘보다 조금 적은 30cm, 세로는 한 뼘보다 작은 10, 높이도 10 정도로 가늠이 됩니다. 이를 가지고 부피를 계산해보면 그 값은 3000㎤ 정도가 된다는 것을 알 수가 있어요. 연결하면 이렇게 되겠죠. 두 번째 방의 크기입니다. 우리 1㎥의 단위를 배울 때 같이 1㎥의 크기만큼 신문지를 활용하여 모형을 만들어 보았나요? 그 모형의 크기보다도 우리들의 방은 더욱 크죠. 그 모형을 방 안에 가로로 네 칸, 세로로 세 칸, 높이로 세 칸 정도 된다고 하면, 그 부피는 4 곱하기 3 곱하기 3으로 36칸이 들어가는 36㎥가 될 거예요. 즉 이와 가장 가까운 값은 30㎥가 되겠네요. 세 번째 지우개의 부피입니다. 지우개는 손가락 한 마디인 1㎤인 단위부피가 대략 가로로 3개, 세로로 7개 정도 들어간다면 21개가 들어가겠어요. 즉 어림해보면 21㎤가 된다는 걸 생각해 볼 수 있어요. 마지막 냉장고는 일단 우리가 배운 1㎥의 크기가 하나 반, 또는 두 개 정도가 되는 큰 크기에요. 그러니 정답으로 골라보면 1.5㎥이 된다고 할 수 있어요.
 
<5번 문제>
5번 문제입니다. 두 직육면체의 부피는 각각 280㎤입니다. 네모 안에 알맞은 수를 써넣으세요. 이번 문제는 직육면체의 부피를 보고 모서리의 길이를 구하는 문제입니다. 즉, 가로 곱하기 세로 곱하기 높이는 부피라는 식을 알고 그것을 거꾸로 풀어주면 되겠어요. 자, 먼저 이 직육면체 같은 경우에는 가로가 8, 세로가 5, 높이가 네모인데, 그 부피가 280㎤라고 하였습니다. 계산을 한다고 하면 40 곱하기 네모는 280. 네모에 얼마가 들어가야 되나요? 네, 7을 넣어주면 280이 되겠죠. 즉, 높이의 길이는 7cm라는 것을 알 수가 있어요. 다음 문제입니다. 가로가 2, 세로가 네모, 높이가 10인 직육면체의 부피가 280이고, 계산을 해준다면 20 곱하기 네모는 280. 네모에 들어가는 수는 280에 20을 나누어주어야 하니, 네. 14라는 것을 알 수가 있네요. 즉, 이렇게 각각의 모서리의 길이, 7cm와 14cm가 된다라는 것을 계산할 수가 있었습니다.
 
<6번 문제>
6번 문제입니다. 준기는 과자 공장에 다녀온 뒤, 과자 상자를 직접 만들어 보았습니다. 준기가 만든 과자 상자의 부피를 두 가지 방법으로 구해 보세요. 직육면체의 부피 구하는 방법을 활용하여 주어진 ㄷ자 모양 상자의 부피를 구해보는 문제입니다. 두 가지 방법을 생각해보아야 하는 문제로, 이러한 문제는 크게 큰 것에서 작은 부분을 빼거나 작은 조각으로 나누어 각각을 구해 더해주는 방법이 있어요. 하나씩 정리하며 풀어볼까요? 방법 1입니다. 여기에 선을 그어주면 커다란 직육면체가 만들어지죠? 큰 직육면체의 부피에서 여기 작은 직육면체의 부피를 빼주는 방법입니다. 식으로 나타내어 본다면, 7 곱하기 8 곱하기에 3 곱하기 2 곱하기 2를 빼어주는 식이 만들어질 수 있어요. 계산을 해본다면, 100㎤가 된답니다. 방법 2입니다. 이렇게 나누어보면, 세 부분으로 나누어지죠. 큰 조각 하나와 작은 조각 두 개인데, 자세히 보니 여기 작은 직육면체 두 개는 서로 가로, 세로, 높이가 같네요. 식으로 정리해본다면 4 곱하기 8 곱하기 2, 더하기 3 곱하기 3곱하기 2 곱하기 2는 과 같은 식으로 나타낼 수가 있어요. 계산을 해본다면, 64 더하기 36. 그리고 그 값은 100㎤와 같이 방법 1과 같은 답이 나온다는 것을 알 수가 있었어요.
 
<7번 문제>
7번 문제입니다. 다음 직육면체의 겉넓이를 구하려고 합니다. 물음에 답하세요. 식을 잘못 쓴 친구를 모두 찾고, 잘못 쓴 이유를 말해 보세요. 직육면체의 겉넓이 구하는 방법을 잘 이해하고 문제를 해결할 수 있는지 확인하는 문제입니다. 먼저 연수부터 살펴볼까요? 연수. 직육면체의 겉넓이는 여섯 면의 넓이의 합이니까 나는 여섯 면의 넓이를 모두 더할 거야. 여러분 우리가 공부한 겉넓이 구하기 첫 번째 방법을 이해하고 풀어주었다는 것을 알 수 있죠? 다음 슬기입니다. 합동인 면이 3쌍이므로 세 면의 넓이를 구해 각각 2배 한 뒤 더해 볼래. 합동인 면이 3쌍이라는 점을 활용하여 아주 잘 풀어주었네요. 다음 지혜. 합동인 면이 3쌍이라는 점을 이용해서 간단하게 풀 수 있어. 네, 지혜도 슬기와 같이 합동인 면이 세 쌍이라는 직육면체의 성질을 잘 활용한 듯 싶으나 식을 한번 볼까요? 식을 보니, 세 면의 넓이의 합을 구한 뒤 두 배를 해야하는데 두 배를 하지 않았네요. 바르게 고쳐 쓴다면 지혜는 12 곱하기 8 더하기 12 곱하기 7 더하기 8 곱하기 7을 해준 뒤 괄호를 묶어주고 곱하기 2를 해주어야 합니다. 다음은 준기입니다. 나는 한 밑면의 넓이를 두 배하고 옆면의 넓이를 더해야겠어. 네, 직육면체의 여섯 면을 밑면과 옆면으로 크게 나누어 각각 구한 후, 합하는 방법을 잘 설명하였어요. 하지만 식을 보니 한 밑면의 넓이를 구한 후 두 배를 해야하는데, 한 밑면의 넓이만 구했습니다. 그리고 옆면의 가로를 잘못 구해 옆면의 넓이도 잘못 구했어요. 바르게 고쳐볼까요? 12 곱하기 8에 곱하기 2를 더해주고, 더하기 12 더하기 8이 두 번 있으므로 곱하기 2를 해준 다음 곱하기 7을 이어서 해주어야겠습니다. 알맞은 답을 정리해보면 이렇게 정리할 수 있겠죠?
 
<정리>
우리 친구들 이렇게 하여 6학년 1학기의 마지막 단원인 직육면체의 부피와 겉넓이를 모두 공부하였습니다. 다양한 수학적 개념을 배우며 여러분의 수학적 지식이 더 넓어졌을 거예요. 그리고 한 걸음 더 나아가 수학적 원리에 대해 나만의 생각을 수학적 언어로 표현해보며 수학의 깊이를 더해갔답니다. 한 단계, 한 단계. 성실히 공부를 마친 여러분, ‘얼마나 알고 있나요?’라는 질문과 문제에 자신있게 답하며 문제를 해결해가는 모습이 참으로 벅찼답니다. 그럼, 신나는 여름 방학을 보내고 6학년 2학기에서 다시 만나도록 해요. 안녕!